tag:
неравенства
Теорема
§
Неравенство треугольника (неравенство Минковского)
\[\sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} + \sqrt {b_1^2 + ... + b_n^2} \geqslant \sqrt {{{\left( {{a_1} + {b_1}} \right)}^2} + ... + {{\left( {{a_n} + {b_n}} \right)}^2}} \]
§
\[\begin{array}{l}
{\text{Для любых двух векторов }}\overrightarrow a = \left\{ {{a_1},{a_2}} \right\}{\text{ и }}\overrightarrow b = \left\{ {{b_1},{b_2}} \right\}{\text{ выполняется неравенство}} \hfill \\
{\text{Коши - Буняковского - Шварца:}} \hfill \\
\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| \leqslant \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \left| {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}} \right| \leqslant \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt {b_1^2 + b_2^2} {\text{, при этом равенство достигается}} \hfill \\
{\text{в том и только в том случае}}{\text{, когда векторы коллинеарны}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{Поэтому }}\left| {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{{a_2}}}{{{b_2}}}. \hfill \\
{\text{Пример:}} \hfill \\
{\text{2}}\sqrt {x - 1} + 5x = \sqrt {\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 24} \right)} \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {x - 1} }} = \frac{x}{5} \Leftrightarrow x = 5. \hfill \\
\end{array}\]65.
\[\begin{array}{l}{\text{Найдите все значения }}a{\text{, при которых система неравенств}}\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - a \le 0\\{x^2} - 4x + 6a \le 0\end{array} \right.\\{\text{имеет единственное решение}}{\text{.}}\end{array}\]
737.
\[{\text{Найти минимальное значение выражения }}\left( {\frac{{ab}}{c} + \frac{{ac}}{b} + \frac{{bc}}{a}} \right)\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}}} \right).\]
788.
\[{\text{Решите неравенство: }}\frac{{{2^x}}}{{{2^x} - 2}} \leqslant \frac{1}{{2 \cdot {2^x} - 1}}.\]
827.
\[{\text{Известно}}{\text{, что }}a + b = 2.{\text{ Докажите}}{\text{, что }}{a^4} + {b^4} \geqslant 2.\]
847.
\[{\text{Докажите неравенство: }}\left| {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right| \leqslant \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| + ... + \left| {{x_n}} \right|.\]
851.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что 1 + }}\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 2.\]
872.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что если длины всех сторон треугольника меньше 1}}{\text{,}} \hfill \\
{\text{то его площадь меньше }}\frac{{\sqrt 3 }}{4}. \hfill \\
\end{array}\]
1868.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите неравенство:}} \hfill \\
\sqrt[5]{{\frac{{1 + \sin x}}{{1 + \cos x}}}} + \sqrt[5]{{\frac{{1 - \sin x}}{{1 - \cos x}}}} \geqslant \sqrt[5]{2}. \hfill \\
\end{array}\]
65.
96.