\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ a\left| {x - 5} \right| = \frac{2}{{x + 3}}{\text{ на промежутке }}\left[ {0; + \infty } \right){\text{ имеет ровно два корня}}{\text{.}} \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения параметра }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ {\left( {\left( {a - 1} \right){x^2} + 3x} \right)^2} - 2\left( {\left( {a - 1} \right){x^2} + 3x} \right) + 1 - {a^2} = 0\\ {\text{имеет ровно два решения}}{\text{.}} \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ ax + \sqrt {5 - 4x - {x^2}} = 3a + 3\\ {\text{имеет единственный корень}}{\text{.}} \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ 10a + \sqrt { - 7 + 8x - {x^2}} = ax + 3\\ {\text{имеет единственный корень}}{\text{.}} \end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\text{При каких значениях }}a{\text{ и }}b{\text{ система}}\\\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 3\\2x + ay = b\end{array} \right.\\{\text{а) имеет единственное решение;}}\\{\text{б) не имеет решений;}}\\{\text{в) имеет бесконечно много решений?}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\text{Определите все значения параметра }}a{\text{,}}\\{\text{при которых система}}\\\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\{x^2} + {y^2} = a\end{array} \right.\\{\text{имеет ровно 4 решения}}{\text{.}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\text{Найдите все значения }}a{\text{, при которых система неравенств}}\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - a \le 0\\{x^2} - 4x + 6a \le 0\end{array} \right.\\{\text{имеет единственное решение}}{\text{.}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\text{При каких значениях параметра }}a{\text{ система уравнений}}\\\left\{ \begin{array}{l}{y^2} - \left( {2a + 1} \right)y + {a^2} + a - 2 = 0\\\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} = 3\end{array} \right.\\{\text{имеет единственное решение?}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ 4{x^3} - a{x^2} + 2x - 1 = 0{\text{ имеет хотя бы одно решение}}\\ {\text{на интервале }}\left( {0;1} \right). \end{array}\]

\[{\text{При каком значении }}a{\text{ система уравнений}}\] $% \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1\frac{1}{2}\\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = - \frac{1}{2}\\ ax + y = 13 \end{array} \right. $% \[{\text{имеет решение?}}\]

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{ при каждом из которых система уравнений}}\\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\left( {{y^2} - xy + 4x - 7y + 12} \right)\sqrt {x + 5} }}{{\sqrt {5 - x} }} = 0,\\ x + y - a = 0 \end{array} \right.\\ {\text{имеет ровно 2 различных решения}}{\text{.}} \end{array} } $$

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ {a^2} - 12a + 3\sqrt {4{x^2} + 9} = 6\left| {x - 3a} \right| - 10\left| x \right|\\ {\text{имеет хотя бы один корень}}{\text{.}} \end{array} } $$

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ \left| {{x^2} - 2ax + 7} \right| = \left| {6a - {x^2} - 2x - 1} \right|\\ {\text{имеет более двух различных корней}}{\text{.}} \end{array} } $$

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ \sqrt {{x^4} - {x^2} + {a^2}} = {x^2} + x - a\\ {\text{имеет ровно три различных корня}}{\text{.}} \end{array} } $$

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых для любой пары }}\left( {u,v} \right)\\ {\text{действительных чисел }}u{\text{ и }}v{\text{ выполнено неравенство}}\\ 13\sin u - 7\left| {\sin u + v - 2a} \right| + 3\left| {\sin u - 2v - a - 1} \right| \le 16. \end{array} } $$

\[\begin{array}{l} {\text{При каких значениях параметра }}a{\text{ сумма квадратов корней}} \hfill \\ {\text{уравнения }}{x^2} + ax + {a^2} - 2 = 0{\text{ является наибольшей?}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения параметра }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}} \hfill \\ \frac{{9{x^2} - {a^2}}}{{3x - 9 - 2a}} = 0{\text{ имеет ровно два различных решения}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения параметра }}a{\text{, при которых уравнение}} \hfill \\ \sqrt x + \sqrt {11 - a \cdot x} = 7 - x{\text{ имеет единственное решение}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]