\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что }}{F_{n + k}} = {F_{n - 1}}{F_k} + {F_n}{F_{k + 1}}. \hfill \\ ({\text{используйте индукцию по }}k) \hfill \\ \end{array} \]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {{{15}^n} + 6} \right) \vdots 7{\text{ при любом натуральном }}n.\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что если число }}a + \frac{1}{a}{\text{ - целое}}{\text{, то и число }}{a^n} + \frac{1}{{{a^n}}}{\text{ целое }}\forall n \in \mathbb{N}.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что квадратную доску размером }}{2^n} \times {2^n}{\text{ клеток}}{\text{, из которой вырезана}} \hfill \\ {\text{одна произвольная клетка}}{\text{, можно разрезать на уголки из трёх клеток}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right) \cdot n}} = \frac{{n - 1}}{n}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ {{\text{1}}^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите неравенство: }}\left| {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right| \leqslant \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| + ... + \left| {{x_n}} \right|.\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {{2^{{3^n}}} + 1} \right) \vdots {3^{n + 1}}.\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {5 \cdot {2^{3n - 2}} + {3^{3n - 1}}} \right) \vdots 19.\]

На плоскости проведено n прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Определите количество частей, на которое разбивают плоскость эти прямые.

Игрушка «Ханойские башни» имеет три стержня. На одном находится пирамидка из нескольких колец (уменьшающихся снизу вверх). Эту пирамидку нужно переложить на другой стержень, соблюдая правила игры: нельзя переносить сразу несколько колец и нельзя класть большее кольцо поверх меньшего. Какое минимальное количество шагов понадобится, чтобы переложить башню высотой в n колец со стержня A на стержень B?

Вершины выпуклого многоугольника раскрашены в три цвета так, что каждый цвет присутствует и никакие две соседние вершины не окрашены в один цвет. Докажите, что многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники так, чтобы у каждого треугольника вершины были трёх разных цветов.

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите по индукции:}} \hfill \\ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} = \Psi \left( {n + 1} \right) + \gamma . \hfill \\ \Psi \left( n \right){\text{ - дигамма - функция}}{\text{, }}\Psi \left( {n + 1} \right) = \Psi \left( n \right) + \frac{1}{n}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите по индукции:}} \hfill \\ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sqrt[{{2^n}}]{{\frac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }}}} + \sqrt[{{2^n}}]{{\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}}} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt {2 + 2\sqrt 2 } } } } }_{n{\text{ корней}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Evaluate }}f\left( x \right) = {x^{{x^{{x^{...}}}}}}{\text{ (infinite power tower) at }}x = {e^{\frac{1}{e}}}.{\text{ Prove that }}f\left( x \right) = + \infty {\text{ if }}x > {e^{\frac{1}{e}}}.\]

\[{\text{Prove that}}\] $$\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\left( {2k} \right)!!}}{{\left( {2k + 1} \right)!!}}} = \frac{{2n + 3}}{2} \cdot {\rm B}\left( {\frac{1}{2},n + 2} \right) - 1.$$