tag:
Бета-функция
§
\[\begin{array}{l}
{\rm B}\left( {x,y} \right) = \int\limits_0^1 {{t^{x - 1}}{{\left( {1 - t} \right)}^{y - 1}}dt} , \hfill \\
\operatorname{Re} x > 0,{\text{ }}\operatorname{Re} y > 0. \hfill \\
\end{array}\]§
\[{\rm B}\left( {x,y} \right) = \frac{{\Gamma \left( x \right)\Gamma \left( y \right)}}{{\Gamma \left( {x + y} \right)}}\]
§
\[\begin{array}{l}
{\rm B}\left( {x,y} \right) = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\sin t} \right)}^{2x - 1}}{{\left( {\cos t} \right)}^{2y - 1}}dt} , \hfill \\
\operatorname{Re} x > 0,{\text{ }}\operatorname{Re} y > 0. \hfill \\
\end{array}\]
§
\[\begin{array}{l}
{\rm B}\left( {x,y} \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{t^{x - 1}}}}{{{{\left( {1 + t} \right)}^{x + y}}}}dt} , \hfill \\
\operatorname{Re} x > 0,{\text{ }}\operatorname{Re} y > 0. \hfill \\
\end{array}\]1720.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\
\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{1 + {x^{2n}}}}dx} = \frac{\pi }{{2n \cdot \sin \frac{\pi }{{2n}}}}. \hfill \\
n \in \mathbb{N} \hfill \\
\end{array}\]
1982.
\[\begin{array}{l}
N = \frac{{\sqrt 2 {\pi ^{\frac{3}{2}}}}}{{4\Gamma {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}} = \frac{{\pi \cdot G}}{2} = \frac{1}{4}{\rm B}\left( {\frac{1}{4},\frac{1}{2}} \right). \hfill \\
\Gamma {\text{ - гамма - функция;}} \hfill \\
G{\text{ - постоянная Гаусса;}} \hfill \\
{\rm B}{\text{ - бета - функция}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{Докажите}}{\text{, что }}1 + \frac{{1 + \frac{{1 + \frac{{1 + \frac{{1 + ...}}{{2 + 3/7}}}}{{2 + 3/5}}}}{{2 + 3/3}}}}{{2 + 3/1}} = N. \hfill \\
{a_k} = 2 + \frac{3}{{2k - 1}}. \hfill \\
\end{array}\]
2031.
\[\begin{array}{l}
{\text{Найдите предел:}} \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\int\limits_0^\pi {{{\left( {\sin x} \right)}^{a \cdot n}}dx} }}{{\int\limits_0^\pi {{{\left( {\sin x} \right)}^{b \cdot n}}dx} }},{\text{ }}a,b > 0. \hfill \\
\end{array}\]
2057.
\[{\text{Найдите значение интеграла: }}\int\limits_0^1 {\sqrt[n]{{1 - \sqrt[n]{{1 - x}}}}dx} ,{\text{ }}n = 2,3,4,...\]
2069.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что длина лемнискаты Бернулли }}\rho = \sqrt {\cos 2\varphi } {\text{ равна }}{\rm B}\left( {\frac{1}{4},\frac{1}{2}} \right).\]
2071.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt[6]{{\sin x}}dx} } \right) \cdot \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{\sqrt[6]{{{{\sin }^5}x}}}}dx} } \right) = 3\pi .\]
2086.
\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\operatorname{tg} }^s}x} dx,{\text{ }}0 < s < 1.\]
2090.
\[{\text{Let }}a,b,c \in \mathbb{R},{\text{ }}0 < a < b.{\text{ Show that}}\]
$$\int\limits_0^1 {{{\left( {{x^a} - {x^b}} \right)}^c}dx} = \frac{{\Gamma \left( {\frac{{ac + 1}}{{b - a}}} \right) \cdot \Gamma \left( {c + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {\frac{{bc + 1}}{{b - a}}} \right) \cdot \left( {bc + 1} \right)}}.$$
2118.
$$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{\sqrt {\cosh x} }}} $$
2120.
\[{\text{Prove that}}\]
$$\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\left( {2k} \right)!!}}{{\left( {2k + 1} \right)!!}}} = \frac{{2n + 3}}{2} \cdot {\rm B}\left( {\frac{1}{2},n + 2} \right) - 1.$$
2147.
$$\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{1}{{\cosh \left( {\pi k} \right)}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{\rm B}\left( {\frac{3}{4},\frac{3}{4}} \right)}}.$$
$$\sum\limits_{k = 0}^{ + \infty } {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{\cosh \left( {\pi k} \right)}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{\rm B}\left( {\frac{1}{2},\frac{3}{4}} \right)}}.$$
2152.
$$\begin{array}{l}
{a_1} = 0;{a_2} = 1; \hfill \\
{a_n} = \sqrt {\frac{{{a_{n - 1}} + {a_{n - 2}}}}{2} \cdot {a_{n - 1}}} ,{\text{ }}n \geqslant 3; \hfill \\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \frac{1}{\pi }{\rm B}\left( {\frac{1}{2},\frac{3}{4}} \right) \hfill \\
\end{array} $$