\[{\text{Вычислите: }}\frac{{{{21}^{12}}}}{{{{\left( {{7^4}} \right)}^3} \cdot {{\left( {{3^2}} \right)}^4}}}.\]

\[{\text{Вычислите: }}\frac{{{{\left( {{7^{\frac{1}{3}}} \cdot {7^{ - \frac{2}{3}}}} \right)}^3}}}{{{7^{ - 3}}}}.\]

\[{\text{Вычислите: }}{\left( {\sqrt[3]{{\sqrt 8 }}} \right)^2}.\]

\[{\text{Вычислить: }}\frac{{{{15}^{\frac{2}{3}}} \cdot {3^{\frac{7}{3}}}}}{{{5^{ - \frac{1}{3}}}}}.\]

\[{\text{Вычислить: }}{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 2}} - {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{\frac{1}{3}}} + 4 \cdot {379^0}.\]

\[{\text{Вычислить: }}\left( {\sqrt[3]{{128}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{4}}}} \right):\sqrt[3]{2}.\]

\[\begin{array}{l}{\text{Выполните действия в алгебраической форме}}{\text{.}}\\{\text{Результат запишите в тригонометрической и}}\\{\text{показательной формах}}{\text{.}}\\{\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{17}} + {i^6}\end{array}\]

\[{\text{Вычислите: }}\frac{1}{{\frac{1}{{18}} - \frac{1}{{21}}}}\]

\[{\text{Вычислите:}}\] $%\frac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {2015} + \sqrt {2016} }}$%

\[{\text{Вычислите:}}\] $%\frac{{{{40}^{\frac{3}{4}}} \cdot {2^{\frac{7}{4}}}}}{{{{10}^{\frac{1}{4}}} \cdot {{64}^{\frac{1}{8}}}}}$%

\[{\text{Вычислите:}}\] $%\frac{{{{30}^{\frac{2}{3}}} \cdot {2^{\frac{1}{3}}}}}{{{5^{\frac{2}{3}}} \cdot {{81}^{\frac{1}{6}}}}}$%

\[{\text{Вычислите:}}\] $%\left( {{{27}^{ - \frac{2}{3}}} + {{81}^{ - \frac{3}{4}}}} \right) \cdot {\left( {\frac{4}{9}} \right)^{ - \frac{3}{2}}}$%

\[{\text{Вычислите:}}\] $%\left( {{{32}^{ - \frac{2}{5}}} + {8^{ - \frac{2}{3}}}} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 3}}$%

\[{\text{Вычислите:}}\] $%\sqrt[3]{{1 - \sqrt 5 }} \cdot \sqrt {\sqrt[3]{{6 + 2\sqrt 5 }}} $%

\[{\text{Вычислите:}}\] $%\frac{{\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[3]{{2\sqrt 8 }}}}{{\left( {\sqrt[4]{4} - 1} \right) \cdot \left( {\sqrt[4]{4} + 1} \right)}}$%

\[{\text{Вычислите:}}\] $%\sqrt {7 + 4\sqrt 3 } - \sqrt[3]{{15\sqrt 3 - 26}}$%

$${\text{Вычислите: }}\frac{{2\sqrt[3]{{216}} + \sqrt[5]{{\frac{1}{{243}}}} - \sqrt {5\frac{4}{9}} }}{{5\sqrt[4]{{0,0016}}}}.$$

\[{\text{Упростите: }}\sqrt {13 + 4\sqrt 3 } + \sqrt {13 - 4\sqrt 3 } .\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ \sqrt {12 - 2\sqrt {11} } - \sqrt {15 - 4\sqrt {11} } \hfill \\ {\text{ - целое число}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

$%\begin{array}{l}{\text{Вычислите:}}\\\frac{{\left( {1\frac{1}{2} + 2\frac{2}{3} + 3\frac{3}{4}} \right) \cdot 3\frac{3}{5}}}{{14 - 15\frac{1}{8}:2\frac{1}{5}}}\end{array}$%

\[{\text{Упростите:}}\] $%\sqrt {24 - 12\sqrt 2 + \sqrt[3]{{99 + 70\sqrt 2 }}} $%

\[{\text{Чему равно 0}}{\text{,7% от 143000?}}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что значение выражения}}\] $%{\left( {{{\left( {7 + 2 \cdot {{10}^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}} + {{\left( {7 - 2 \cdot {{10}^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}$% \[{\text{является натуральным числом}}{\text{.}}\]

\[{\text{Вычислите:}}\] $%{\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {\arcsin \frac{1}{7} + \arccos \frac{1}{2}} \right)$%

$$\eqalign{ & {\text{Упростите:}} \cr & {\log _2}1000 \cdot {\log _3}999 \cdot {\log _4}998 \cdot ... \cdot {\log _{999}}3 \cdot {\log _{1000}}2 \cr} $$

\[{\text{Найдите значение выражения:}}\] $%453 \cdot 87 - \left( {756232 + 48998} \right):389$%

\[{\text{Упростите: }}\sqrt {3 + \sqrt {5 - \sqrt {13 + 4\sqrt 3 } } } .\]

\[{\text{Вычислите:}}\] $%0,1 - 0,5 + 0,9 - ... + 9,7 - 10,1$%

$%\begin{array}{l} {\text{Вычислите:}} \hfill \\ 2461914383:239 + 6103 \hfill \\ \end{array} $%

$$\eqalign{ {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[3]{{38 + 17\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{72 - 32\sqrt 5 }}. \hfill \\ } $$

$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \prod\limits_{k = 1}^{2018} {\cos \frac{{\pi k}}{{2019}}} \hfill \\ } $$

$$\eqalign{ \left( {{{36,5}^2} - {{27,5}^2}} \right):\left( {\frac{{{{57}^3} + {{33}^3}}}{{90}} - 57 \cdot 33} \right) } $$

$$\eqalign{ {\text{Вычислите }}\operatorname{tg} \frac{\pi }{{12}}. } $$

$$\eqalign{ {\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ \cos \frac{\pi }{{{2^n}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \hfill \\ (n - 1{\text{ знак корня}}{\text{, }}n \in \mathbb{N}) \hfill \\ } $$

$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \cos \frac{{2\pi }}{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7} \hfill \\ } $$

$$\eqalign{ {\text{Упростить до целого числа выражение}} \hfill \\ {\text{2}} \cdot \frac{{\sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }} - \frac{{\sqrt {7 + \sqrt 5 } }}{{\sqrt {7 - \sqrt 5 } }} \cdot 2\sqrt {11} . \hfill \\ } $$

$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \cos \frac{\pi }{5} - \cos \frac{{2\pi }}{5}. \hfill \\ } $$

$$\eqalign{ \lg \operatorname{tg} {1^ \circ } + \lg \operatorname{tg} {2^ \circ } + \lg \operatorname{tg} {3^ \circ } + ... + \lg \operatorname{tg} {89^ \circ } } $$

$$\eqalign{ {\log _2}3 \cdot {\log _3}4 \cdot {\log _4}5 \cdot ... \cdot {\log _{30}}31 \cdot {\log _{31}}32 } $$

$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \frac{{96 \cdot \sin {{80}^ \circ } \cdot \sin {{65}^ \circ } \cdot \sin {{35}^ \circ }}}{{\sin {{20}^ \circ } + \sin {{50}^ \circ } + \sin {{110}^ \circ }}} \hfill \\ } $$

$$\eqalign{ {\text{Вычислите: }}1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100. } $$

\[\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ {\text{2 + }}\sqrt 2 + \frac{1}{{2 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 - 2}}. \hfill \\ \end{array} \]

\[\begin{array}{l} {\text{Вычислить рационально:}} \hfill \\ \frac{{{{53}^2} - {{27}^2}}}{{{{79}^2} - {{51}^2}}}. \hfill \\ \end{array} \]

\[{\text{Вычислите: }}\left( {\left( {31487 - 12580} \right):73 + 1972} \right):97.\]

\[{\text{Найдите значение выражения: 5}} \cdot {\text{1}}{{\text{0}}^{ - 1}} + 7 \cdot {10^{ - 3}} + 3 \cdot {10^{ - 4}}.\]

\[{\text{Рациональным или иррациональным является число }}\sqrt[3]{{\sqrt 5 + 2}} - \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}}?\]

\[{\text{Вычислить: а) }}\cos \frac{\pi }{5} \cdot \cos \frac{{2\pi }}{5};{\text{ б) }}\cos \frac{\pi }{5} - \cos \frac{{2\pi }}{5}.\]

\[{\text{Вычислите: }}\left( { - 1} \right) + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^4} + ... + {\left( { - 1} \right)^{2020}}.\]

\[{\text{Вычислите }}\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ...} } } } .\]

\[\begin{array}{l} {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \cos \frac{{2\pi }}{{31}}\cos \frac{{4\pi }}{{31}}\cos \frac{{8\pi }}{{31}}\cos \frac{{16\pi }}{{31}}\cos \frac{{32\pi }}{{31}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Площадь треугольника со сторонами }}a,{\text{ }}b{\text{ и }}c{\text{ и полупериметром }}p{\text{ можно}} \hfill \\ {\text{найти по формуле Герона: }}S = \sqrt {p \cdot \left( {p - a} \right) \cdot \left( {p - b} \right) \cdot \left( {p - c} \right)} .{\text{ Найдите по этой}} \hfill \\ {\text{формуле площадь треугольника со сторонами }}4,{\text{ }}13,{\text{ }}15. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{а) }}\sqrt {\sqrt[3]{{80}} - \sqrt[3]{{64}}} = \frac{1}{3} \cdot \left( { - \sqrt[3]{{100}} + 2\sqrt[3]{{10}} + 2} \right) \hfill \\ {\text{б) }}\sqrt {\sqrt[3]{{125}} - \sqrt[3]{{100}}} = \frac{1}{3} \cdot \left( {\sqrt[3]{{100}} + \sqrt[3]{{10}} - 5} \right) \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} \left[ {{\text{Рамануджан}}} \right] \hfill \\ \sqrt[3]{{\sqrt[3]{2} - 1}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{9}}} - \sqrt[3]{{\frac{2}{9}}} + \sqrt[3]{{\frac{4}{9}}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} \left[ {{\text{Рамануджан}}} \right] \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{{3 + 2\sqrt[4]{5}}}{{3 - 2\sqrt[4]{5}}}}} = \frac{{\sqrt[4]{5} + 1}}{{\sqrt[4]{5} - 1}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{{2 + \sqrt[4]{{12}}}}{{2 - \sqrt[4]{{12}}}}}} = \frac{{3 + \sqrt 3 + \sqrt[4]{{12}}}}{{3 + \sqrt 3 - \sqrt[4]{{12}}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{{3 + 2\sqrt[4]{2}}}{{3 - 2\sqrt[4]{2}}}}} + \sqrt[4]{{\frac{{3 - 2\sqrt[4]{2}}}{{3 + 2\sqrt[4]{2}}}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt[4]{{\frac{{11 + 6\sqrt[4]{{10}}}}{{11 - 6\sqrt[4]{{10}}}}}} = \frac{1}{{41}}\left( {\sqrt {1189 + 451\sqrt {10} } + \sqrt {2870 + 451\sqrt {10} } } \right). \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sqrt[8]{{\frac{{3 + 2\sqrt[4]{2}}}{{3 - 2\sqrt[4]{2}}}}} + \sqrt[8]{{\frac{{3 - 2\sqrt[4]{2}}}{{3 + 2\sqrt[4]{2}}}}} = \frac{1}{7}\sqrt {98 + 14\sqrt {35 + 21\sqrt 2 } } . \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sqrt[8]{{\frac{{3 + 2\sqrt[4]{2}}}{{3 - 2\sqrt[4]{2}}}}} = \frac{1}{{14}}\left( {\sqrt {98 + 14\sqrt {35 + 21\sqrt 2 } } + \sqrt { - 98 + 14\sqrt {35 + 21\sqrt 2 } } } \right). \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[5]{{\frac{{123 + 55\sqrt 5 }}{2}}} + \sqrt[5]{{\frac{{123 - 55\sqrt 5 }}{2}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Упростите:}} \hfill \\ \sqrt[6]{{99 + 70\sqrt 2 }} + \sqrt[6]{{99 - 70\sqrt 2 }}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте тождество:}} \hfill \\ \sqrt {4 + \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}} + \sqrt { - 4 + \sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{4}} = \sqrt[6]{{2048}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sqrt[{{2^n}}]{{\frac{{2 + \sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }}}} + \sqrt[{{2^n}}]{{\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}}} = \underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt {2 + 2\sqrt 2 } } } } }_{n{\text{ корней}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Вычислите: }}\sqrt[3]{{{{\operatorname{tg} }^{10}}\frac{\pi }{5}}} + \sqrt[3]{{{{\operatorname{tg} }^{10}}\frac{{2\pi }}{5}}}.\]