\[\begin{array}{l} {\text{База индукции}}{\text{.}} \hfill \\ n = 1 \Rightarrow 9 \vdots 9 \hfill \\ {\text{Индукционный переход}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Требуется доказать}}{\text{, что }}{2^{{3^{n + 1}}}} + 1 \vdots {3^{n + 2}}. \hfill \\ {2^{{3^{n + 1}}}} + 1 = {2^{{3^n} \cdot 3}} + 1 = {\left( {{2^{{3^n}}}} \right)^3} + 1 = \left\{ \begin{array}{l} {2^{{3^n}}} + 1 \vdots {3^{n + 1}} \Leftrightarrow \hfill \\ {2^{{3^n}}} = {3^{n + 1}}t - 1 \hfill \\ \end{array} \right\} = {\left( {{3^{n + 1}}t - 1} \right)^3} + 1 = \hfill \\ {\left( {{3^{n + 1}}t} \right)^3} - 3 \cdot {\left( {{3^{n + 1}}t} \right)^2} + 3\left( {{3^{n + 1}}t} \right) - 1 + 1 = \hfill \\ {\left( {{3^{n + 1}}t} \right)^3} - 3 \cdot {\left( {{3^{n + 1}}t} \right)^2} + 3\left( {{3^{n + 1}}t} \right) \vdots {3^{n + 2}}. \hfill \\ \end{array}\]