\[\begin{array}{l} {\text{При }}k = 1{\text{ имеем }}{5^1} + {3^1} = {2^3} \Rightarrow \left( {1;2} \right){\text{ - решение}} \hfill \\ {\text{Пусть }}k > 1.{\text{ Тогда}} \hfill \\ {{\text{5}}^{k!}} \equiv 1\left( {\bmod 4} \right) \hfill \\ {3^{k!}} \equiv {\left( { - 1} \right)^{k!}} \equiv 1\left( {\bmod 4} \right) \hfill \\ {\text{Значит }}{{\text{5}}^{k!}} + {3^{k!}} \equiv 2\left( {\bmod 4} \right){\text{, т}}{\text{.е}}{\text{. }}{{\text{5}}^{k!}} + {3^{k!}}{\text{ делится на 2}}{\text{, но}} \hfill \\ {\text{не делится на 4}} \Rightarrow {\text{это число не куб}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\left( {1;2} \right)\]