\[\begin{array}{l} {\text{Перепишем уравнение в виде }}{{\text{5}}^{k!}} + {3^{k!}} + 1 = {m^2}. \hfill \\ k = 1 \Rightarrow 9 = {m^2} \Rightarrow \left( {1;3} \right){\text{ - решение}} \hfill \\ k = 2 \Rightarrow 25 + 9 + 1 = {m^2}{\text{, }}\emptyset \hfill \\ k = 3 \Rightarrow 16355 = {m^2},{\text{ }}\emptyset \hfill \\ {\text{Пусть }}k > 3. \hfill \\ \left. \begin{array}{l} {{\text{5}}^{k!}} \equiv 5\left( {\bmod 10} \right) \hfill \\ {3^{k!}} \equiv 1\left( {\bmod 10} \right) \hfill \\ \end{array} \right\} \Rightarrow {{\text{5}}^{k!}} + {3^{k!}} + 1 \equiv 7\left( {\bmod 10} \right){\text{, т}}{\text{.е}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{число }}{{\text{5}}^{k!}} + {3^{k!}} + 1{\text{ оканчивается цифрой 7}}{\text{. Но квадрат}} \hfill \\ {\text{не может оканчиваться семёркой}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\left( {1;3} \right)\]