\[\begin{array}{l}ABCD{\text{ - равнобедренная трапеция}}{\text{, вписанная в окружность с центром }}O.\\{\text{Касательные в точках }}B{\text{ и }}D{\text{ пересекаются в точке }}K.{\text{ }}BH{\text{ - высота трапеции}}{\text{.}}\\BC = 2,{\text{ }}AD = 8,{\text{ }}BH = 4.{\text{ Отрезок }}OK{\text{ пересекает боковую сторону }}CD{\text{ в точке }}P.\\({\text{см}}{\text{. рис}}{\text{.}})\\{\text{а) Найдите }}OK;\\{\text{б) Найдите }}CP.\end{array}\]
\[{\text{Треугольники }}ABH{\text{ и }}OBK{\text{ подобны}}{\text{.}}\]
\[\begin{array}{l}{\text{а)}}\\1.{\text{ }}\angle BOK = \frac{1}{2}\angle BOD = \angle BAD \Rightarrow ABH \sim BOK,\\k{\text{ - коэффициент подобия}}\\2.{\text{ По теореме косинусов из }}ABD{\text{ находим}}{\text{, что }}BD = \sqrt {41} .\\3.{\text{ }}R = OB = \frac{{BD}}{{2\sin \angle BAD}} = \frac{{5\sqrt {41} }}{8}.\\{\text{4}}{\text{. }}k = \frac{{OB}}{{AH}} = \frac{{5\sqrt {41} }}{{24}}\\5.{\text{ }}OK = AB \cdot k = \frac{{25\sqrt {41} }}{{24}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{б)}}\\CP{\text{ находим по теореме синусов из треугольника }}COP.\\CP = \frac{{105}}{{62}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}OK = \frac{{25\sqrt {41} }}{{24}}\\CP = \frac{{105}}{{62}}\end{array}\]
