\[\begin{array}{l}{\text{Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит}}\\{\text{гипотенузу на отрезки в отношении 3:4}}{\text{. В каком отношении}}\\{\text{делит гипотенузу высота?}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{По основному свойству биссектрисы катеты относятся как}}\\{\text{3:4}}{\text{. Размер треугольника не имеет значения}}{\text{, можем считать}}{\text{,}}\\{\text{что катеты }}3{\text{ и 4}}{\text{, а значит гипотенуза 5}}{\text{.}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{Пусть }}h{\text{ - высота}}{\text{, проведённая к гипотенузе}}{\text{. Тогда}}\\3 \cdot 4 = 5h \Leftrightarrow h = \frac{{12}}{5}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{Пусть высота делит гипотенузу на отрезки }}x{\text{ и }}5 - x.\\h = \sqrt {x \cdot \left( {5 - x} \right)} \Leftrightarrow x \cdot \left( {5 - x} \right) = \frac{{144}}{{25}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{9}{5}\\x = \frac{{16}}{5}\end{array} \right.\\{\text{Значит длины отрезков }}\frac{9}{5}{\text{ и }}\frac{{16}}{5},{\text{ а их отношение }}9:16.\end{array}\]
\[{\text{9:16}}\]
