tag:
биссектриса
6.
\[\begin{array}{l} {\text{Окружность с центром }}O{\text{, вписанная в треугольник }}ABC{\text{, касается его сторон}}\\ AB,AC{\text{ и }}BC{\text{ в точках }}{C_1},{B_1}{\text{ и }}{A_1}{\text{ соответственно}}{\text{. Биссектриса угла }}A{\text{ пересекает}}\\ {\text{эту окружность в точке }}Q{\text{, лежащей внутри треугольника }}A{B_1}{C_1}.\\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}{C_1}Q{\text{ - биссектриса угла }}A{C_1}{B_1}.\\ {\text{б) Найдите расстояние от точки }}O{\text{ до центра окружности}}{\text{, вписанной в}}\\ {\text{треугольник }}A{B_1}{C_1}{\text{, если известно}}{\text{, что }}BC = 10,AB = 17,AC = 21. \end{array}\]
195.
\[\begin{array}{l}{\text{Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит}}\\{\text{гипотенузу на отрезки в отношении 3:4}}{\text{. В каком отношении}}\\{\text{делит гипотенузу высота?}}\end{array}\]
885.
\[\begin{array}{l} {\text{В треугольнике }}ABC{\text{ }}\angle A = {70^ \circ },{\text{ }}\angle B = {80^ \circ },{\text{ }}BE{\text{ - биссектриса}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Через точку }}E{\text{ проведена прямая }}a{\text{, параллельная }}BC,{\text{ }}EC = x. \hfill \\ {\text{а) Найдите расстояние между прямыми }}a{\text{ и }}BC. \hfill \\ {\text{б) Найдите расстояние от точки }}E{\text{ до прямой }}AB. \hfill \\ \end{array}\]
1109.
На прямой, содержащей биссектрису AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удалённая от вершины A на расстояние, равное \[\sqrt {26} \]. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 5, AC = 12.
1185.
В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N; AB = 6, BC = 5, AC = 9.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P - точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP:PN.
2030.
\[\begin{array}{l} A{A_1},{\text{ }}B{B_1}{\text{ и }}C{C_1}{\text{ - биссектрисы}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \hfill \\ \end{array}\]