В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N; AB = 6, BC = 5, AC = 9.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P - точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP:PN.
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
{\text{По теореме о биссектрисе }}\frac{{BM}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{AC}}{\text{, откуда получаем}}{\text{, что }}BM = 2,{\text{ }}CM = 3. \hfill \\
AM \bot BN \Rightarrow {\text{треугольник }}BAN{\text{ - равнобедренный}} \Rightarrow AN = 6 \Rightarrow CN = 3. \hfill \\
CM = CN = 3 \Rightarrow {\text{треугольник }}CNM{\text{ - равнобедренный}} \Rightarrow CK{\text{ - медиана}}{\text{, ч}}{\text{.т}}{\text{.д}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
\vartriangle PNK = \vartriangle PMK \Rightarrow PN = PM \hfill \\
{\text{По теореме о биссектрисе }}\frac{{AP}}{{PN}} = \frac{{AP}}{{PM}} = \frac{{AC}}{{CM}} = \frac{9}{3} = 3. \hfill \\
\end{array}\]
б) 3
