\[\begin{array}{l} {\text{Окружность с центром }}O{\text{, вписанная в треугольник }}ABC{\text{, касается его сторон}}\\ AB,AC{\text{ и }}BC{\text{ в точках }}{C_1},{B_1}{\text{ и }}{A_1}{\text{ соответственно}}{\text{. Биссектриса угла }}A{\text{ пересекает}}\\ {\text{эту окружность в точке }}Q{\text{, лежащей внутри треугольника }}A{B_1}{C_1}.\\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}{C_1}Q{\text{ - биссектриса угла }}A{C_1}{B_1}.\\ {\text{б) Найдите расстояние от точки }}O{\text{ до центра окружности}}{\text{, вписанной в}}\\ {\text{треугольник }}A{B_1}{C_1}{\text{, если известно}}{\text{, что }}BC = 10,AB = 17,AC = 21. \end{array}\]

Сумма оснований трапеции равна 13, диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

$$\eqalign{ {\text{На сторонах }}AC{\text{ и }}BC{\text{ треугольника }}ABC{\text{ вне треугольника построены}} \hfill \\ {\text{квадраты }}ACDE{\text{ и }}BFKC.{\text{ Точка }}M{\text{ - середина стороны }}AB. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}CM = \frac{1}{2}DK. \hfill \\ {\text{б) Найдите расстояние от точки }}M{\text{ до центров квадратов}}{\text{, если }}AC = 10, \hfill \\ BC = 32{\text{ и }}\angle ACB = {30^ \circ }. \hfill \\ } $$

$$\eqalign{ {\text{В трапеции }}ABCD{\text{ боковая сторона }}AB{\text{ перпендикулярна основаниям}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Из точки }}A{\text{ на сторону }}CD{\text{ опустили перпендикуляр }}AH.{\text{ На стороне}} \hfill \\ AB{\text{ отмечена точка }}E{\text{ так}}{\text{, что прямые }}CD{\text{ и }}CE{\text{ перпендикулярны}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что прямые }}BH{\text{ и }}ED{\text{ параллельны}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{б) Найдите отношение }}BH{\text{ к }}ED{\text{, если }}\angle BCD = {120^ \circ }. \hfill \\ } $$

Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках \[{C_1}\] и \[{B_1}\] соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику \[A{B_1}{C_1}\].
б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если \[\angle A = {135^ \circ }\], \[{B_1}{C_1} = 10\] и площадь треугольника \[A{B_1}{C_1}\] в семь раз меньше площади четырёхугольника \[BC{B_1}{C_1}\].

В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы BAM и CDM прямые.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен \[{64^ \circ }\], а расстояние от точки M до прямой BC равно стороне AD.

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{В треугольнике }}ABC{\text{ точки }}{A_1},{\text{ }}{B_1}{\text{ и }}{C_1}{\text{ - середины сторон }}BC,{\text{ }}AC{\text{ и }}AB{\text{ соответственно}}{\text{,}}\\ AH{\text{ - высота}}{\text{, }}\angle BAC = {120^ \circ },{\text{ }}\angle BCA = {15^ \circ }.\\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что точки }}{A_1},{B_1},{C_1}{\text{ и }}H{\text{ лежат на одной окружности}}{\text{.}}\\ {\text{б) Найдите }}{A_1}H{\text{, если }}BC = 4\sqrt 3 . \end{array} } $$

\[\begin{array}{l} {\text{На сторонах }}AB,{\text{ }}BC,{\text{ }}CD{\text{ и }}AD{\text{ параллелограмма }}ABCD{\text{ отмечены точки}} \hfill \\ K,{\text{ }}L,{\text{ }}M{\text{ и }}N{\text{ соответственно}}{\text{, причём }}\frac{{AK}}{{KB}} = \frac{{BL}}{{LC}} = \frac{{CM}}{{MD}} = \frac{{DN}}{{NA}}. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что четырёхугольник }}KLMN{\text{ - параллелограмм}}{\text{, а его центр}} \hfill \\ {\text{совпадает с центром параллелограмма }}ABCD. \hfill \\ {\text{б) Найдите отношение площадей параллелограммов }}KLMN{\text{ и }}ABCD{\text{, если}} \hfill \\ {\text{известно}}{\text{, что }}AK:KB = 2. \hfill \\ \end{array} \]

В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно \[a\]. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающейся большего основания.

\[\begin{array}{l} ABCD,{\text{ }}ACFE{\text{ и }}EDPQ{\text{ - квадраты (см}}{\text{. рис}}{\text{.)}}{\text{.}} \hfill \\ CO = OF \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}O{\text{ - центр квадрата }}EDPQ. \hfill \\ {\text{б) Найдите длину отрезка }}CQ{\text{, если }}AB = 1. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Боковые стороны }}KL{\text{ и }}MN{\text{ трапеции }}KLMN{\text{ равны 8 и 17 соответственно}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Отрезок}}{\text{, соединяющий середины диагоналей}}{\text{, равен 7}}{\text{,5}}{\text{, средняя линия}} \hfill \\ {\text{трапеции равна 17}}{\text{,5}}{\text{. Прямые }}KL{\text{ и }}MN{\text{ пересекаются в точке }}A.{\text{ Найдите}} \hfill \\ {\text{радиус окружности}}{\text{, вписанной в треугольник }}ALM. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Окружности радиусов 1 и 7 с центрами }}{O_1}{\text{ и }}{O_2}{\text{ соответственно касаются}} \hfill \\ {\text{в точке }}A.{\text{ Прямая}}{\text{, проходящая через точку }}A{\text{, вторично пересекает меньшую}} \hfill \\ {\text{окружность в точке }}B{\text{, а большую - в точке }}C.{\text{ Найдите площадь треугольника}} \hfill \\ BC{O_2}{\text{, если }}\angle AB{O_1} = {22,5^ \circ }. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Окружность проходит через вершины }}A,{\text{ }}B{\text{ и }}D{\text{ параллелограмма }}ABCD{\text{,}} \hfill \\ {\text{пересекает сторону }}BC{\text{ в точках }}B{\text{ и }}E{\text{ и пересекает продолжение стороны}} \hfill \\ CD{\text{ за точку }}D{\text{ в точке }}K. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}AE = AK. \hfill \\ {\text{б) Найдите отношение }}KE:BD{\text{, если }}\angle BAD = {60^ \circ }. \hfill \\ \end{array}\]

Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N; AB = 6, BC = 5, AC = 9.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P - точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP:PN.