\[\begin{array}{l}
{\text{Окружности радиусов 1 и 7 с центрами }}{O_1}{\text{ и }}{O_2}{\text{ соответственно касаются}} \hfill \\
{\text{в точке }}A.{\text{ Прямая}}{\text{, проходящая через точку }}A{\text{, вторично пересекает меньшую}} \hfill \\
{\text{окружность в точке }}B{\text{, а большую - в точке }}C.{\text{ Найдите площадь треугольника}} \hfill \\
BC{O_2}{\text{, если }}\angle AB{O_1} = {22,5^ \circ }. \hfill \\
\end{array}\]
Возможны два случая: касание внешним и внутренним образом.
\[\begin{array}{l}
1{\text{ - й случай: касание внешним образом}}{\text{.}} \hfill \\
1){\text{ }}\angle AB{O_1} = \angle {O_1}AB = \angle {O_2}AC = \angle AC{O_2} = {22,5^ \circ }. \hfill \\
{\text{По теореме косинусов для }}\vartriangle AB{O_1}{\text{ находим }}AB = \sqrt {2 + \sqrt 2 } . \hfill \\
2){\text{ }}\vartriangle AC{O_2} \sim \vartriangle AB{O_1},k = 7 \Rightarrow AC = 7AB = 7\sqrt {2 + \sqrt 2 } . \hfill \\
BC = AB + AC = 8\sqrt {2 + \sqrt 2 } . \hfill \\
3){\text{ }}{S_{\vartriangle BC{O_2}}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot C{O_2} \cdot \sin \angle BC{O_2} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cdot 7 \cdot \sin \frac{\pi }{8} = 14\sqrt 2 . \hfill \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
2{\text{ - й случай: касание внутренним образом}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{1) }}\vartriangle AB{O_1} \sim \vartriangle AC{O_2},{\text{ }}k = 7,\angle BC{O_2} = \angle AB{O_1} = {22,5^ \circ }. \hfill \\
2){\text{ }}BC = AC - AB = 6AB = 6\sqrt {2 + \sqrt 2 } . \hfill \\
3){\text{ }}{S_{\vartriangle BC{O_2}}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot C{O_2} \cdot \sin \angle BC{O_2} = \hfill \\
\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cdot 7 \cdot \frac{1}{2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } = \frac{{21\sqrt 2 }}{2}. \hfill \\
\end{array}\]
