Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что \[\angle ABM = {30^ \circ }\].
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если \[BC = 6\sqrt {21} \].

\[\begin{array}{l} {\text{Окружности радиусов 1 и 7 с центрами }}{O_1}{\text{ и }}{O_2}{\text{ соответственно касаются}} \hfill \\ {\text{в точке }}A.{\text{ Прямая}}{\text{, проходящая через точку }}A{\text{, вторично пересекает меньшую}} \hfill \\ {\text{окружность в точке }}B{\text{, а большую - в точке }}C.{\text{ Найдите площадь треугольника}} \hfill \\ BC{O_2}{\text{, если }}\angle AB{O_1} = {22,5^ \circ }. \hfill \\ \end{array}\]

Через вершину T остроугольного треугольника TCD проведена касательная l к окружности, описанной около этого треугольника. Точки A и B - основания перпендикуляров, опущенных из точек D и C соответственно на прямую l, TH - высота треугольника TCD.
а) Докажите, что угол HTC равен углу TDA.
б) Найдите TH, если BC=\[2\sqrt 2 \], AD=\[4\sqrt 2 \].

Вершины K и L квадрата KLMN с центром O лежат на стороне AB треугольника ABC, а вершины M и N - на сторонах BC и AC соответственно. Высота CH треугольника ABC проходит через точку O и пересекает отрезок MN в точке D, причём CD = DO = OH.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону CD в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 5.