\[\begin{array}{l} {\text{Окружности радиусов 1 и 7 с центрами }}{O_1}{\text{ и }}{O_2}{\text{ соответственно касаются}} \hfill \\ {\text{в точке }}A.{\text{ Прямая}}{\text{, проходящая через точку }}A{\text{, вторично пересекает меньшую}} \hfill \\ {\text{окружность в точке }}B{\text{, а большую - в точке }}C.{\text{ Найдите площадь треугольника}} \hfill \\ BC{O_2}{\text{, если }}\angle AB{O_1} = {22,5^ \circ }. \hfill \\ \end{array}\]

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен \[{\sqrt {23} }\].

Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей - в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает бо'льшую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L - отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L - точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.