Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен \[{\sqrt {23} }\].
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
{\text{Треугольники }}EKB{\text{ и }}OKN{\text{ подобны}}{\text{, }}k = 2 \Rightarrow \hfill \\
\angle KEB = \angle KON \Rightarrow \angle KAB = \angle KMN \Rightarrow AB\parallel MN. \hfill \\
\frac{{CM}}{{AL}} = 2 = \frac{{CN}}{{BL}} \Leftrightarrow CN:CM = AL:BL. \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
{\text{Пусть }}AL = 3x,{\text{ }}BL = 2x. \hfill \\
{\text{Точка }}C{\text{ - середина дуги }}AB \Rightarrow \angle AKC = \angle CKN \Rightarrow \hfill \\
KC{\text{ - биссектриса угла }}AKB \Rightarrow \frac{{AK}}{{BK}} = \frac{{AL}}{{BL}} = \frac{3}{2}. \hfill \\
{\text{Пусть }}AK = 3a,{\text{ }}BK = 2a. \hfill \\
{\text{Теорема синусов для треугольника }}ABK: \hfill \\
\frac{{5x}}{{\sin K}} = 2\sqrt {23} \Leftrightarrow \sin K = \frac{{5x}}{{2\sqrt {23} }} \Rightarrow \cos K = \sqrt {1 - \frac{{25{x^2}}}{{4 \cdot 23}}} . \hfill \\
{\text{Теорема косинусов для треугольника }}ABK: \hfill \\
25{x^2} = 9{a^2} + 4{a^2} - 2 \cdot 3a \cdot 2a \cdot \sqrt {1 - \frac{{25{x^2}}}{{4 \cdot 23}}} \Leftrightarrow 12{a^2}\sqrt {1 - \frac{{25{x^2}}}{{4 \cdot 23}}} = 13{a^2} - 25{x^2}. \hfill \\
{\text{Теорема о касательной и секущей:}} \hfill \\
NB \cdot NK = N{C^2} \Leftrightarrow 16{x^2} = 2a \cdot 4a \Leftrightarrow {a^2} = 2{x^2}. \hfill \\
\left\{ \begin{array}{l}
12{a^2}\sqrt {1 - \frac{{25{x^2}}}{{4 \cdot 23}}} = 13{a^2} - 25{x^2} \hfill \\
{a^2} = 2{x^2} \hfill \\
\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{23}}{{12}}. \hfill \\
MN = 10x = \frac{{115}}{6}. \hfill \\
\end{array}\]
б) \[\frac{{115}}{6}\]
