$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{В треугольнике }}ABC{\text{ точки }}{A_1},{\text{ }}{B_1}{\text{ и }}{C_1}{\text{ - середины сторон }}BC,{\text{ }}AC{\text{ и }}AB{\text{ соответственно}}{\text{,}}\\ AH{\text{ - высота}}{\text{, }}\angle BAC = {120^ \circ },{\text{ }}\angle BCA = {15^ \circ }.\\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что точки }}{A_1},{B_1},{C_1}{\text{ и }}H{\text{ лежат на одной окружности}}{\text{.}}\\ {\text{б) Найдите }}{A_1}H{\text{, если }}BC = 4\sqrt 3 . \end{array} } $$

\[\begin{array}{l}{\text{В треугольнике }}ABC{\text{ известно}}{\text{, что }}\angle BAC = {60^ \circ },{\text{ }}\angle ABC = {45^ \circ }.{\text{ Продолжения}}\\{\text{высот треугольника }}ABC{\text{ пересекают описанную около него окружность в}}\\{\text{точках }}M,N,P.\\{\text{а) Докажите}}{\text{, что треугольник }}MNP{\text{ прямоугольный}}{\text{.}}\\{\text{б) Найдите площадь треугольника }}MNP{\text{, если известно}}{\text{, что }}BC = 10.\end{array}\]

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если \[\angle ABC = {30^ \circ }\].

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен \[{\sqrt {23} }\].

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что \[\angle BAC + \angle AKC = {90^ \circ }\].
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если \[\cos \angle BAC = \frac{3}{5}\], а BC = 48.

Высоты \[B{B_1}\] и \[C{C_1}\] остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что \[\angle B{B_1}{C_1} = \angle BAH\].
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если \[{B_1}{C_1} = 10\sqrt 3 \] и \[\angle BAC = {60^ \circ }\].

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC - биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 12 и BD = 6,5.

Высоты тупоугольного треугольника ABC с тупым углом ABC пересекаются в точке H. Угол AHC равен \[{60^ \circ }\].
а) Докажите, что угол ABC равен \[{120^ \circ }\].
б) Найдите BH, если AB = 6, BC = 10.