\[\begin{array}{l} {\text{а)}} \hfill \\ \angle A{C_1}H + \angle H{B_1}A = \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2} = \pi \Rightarrow {\text{четырёхугольник }}A{C_1}H{B_1} \hfill \\ {\text{вписан в окружность}}{\text{.}} \hfill \\ \angle {C_1}AH = \angle {C_1}{B_1}H{\text{, т}}{\text{.к}}{\text{. это вписанные углы}}{\text{, опирающиеся}} \hfill \\ {\text{на одну дугу }}{C_1}H. \hfill \\ \end{array}\] \[\begin{array}{l} {\text{б)}} \hfill \\ \vartriangle ABC \sim \vartriangle A{B_1}{C_1},{\text{ }}k = \cos A \hfill \\ r = AE = OD = R\cos A \hfill \\ {\text{Теорема синусов для }}\vartriangle A{B_1}{C_1}: \hfill \\ \frac{{{B_1}{C_1}}}{{\sin A}} = 2r \Leftrightarrow \frac{{10\sqrt 3 }}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = 2r \Leftrightarrow r = 10 \hfill \\ \end{array}\]

б) 10