Описанная около треугольника окружность
388.
\[\begin{array}{l}{\text{Точка }}O{\text{ - центр окружности}}{\text{, описанной около остроугольного треугольника}}\\ABC,{\text{ }}I{\text{ - центр вписанной в него окружности}}{\text{, }}H{\text{ - точка пересечения высот}}{\text{.}}\\{\text{Известно}}{\text{, что }}\angle BAC = \angle OBC + \angle OCB.\\{\text{а) Докажите}}{\text{, что точка }}H{\text{ лежит на окружности}}{\text{, описанной около}}\\{\text{треугольника }}BOC.\\{\text{б) Найдите угол }}OHI,{\text{ если }}\angle ABC = {40^ \circ }.\end{array}\]
927.
\[\begin{array}{l}
{\text{Около остроугольного треугольника }}ABC{\text{ с различными сторонами описали}} \hfill \\
{\text{окружность с диаметром }}BN.{\text{ Высота }}BH{\text{ пересекает эту окружность в точке }}K. \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что }}AN = CK. \hfill \\
{\text{б) Найдите }}KN{\text{, если }}\angle BAC = {35^ \circ },{\text{ }}\angle ACB = {65^ \circ }{\text{, а радиус окружности равен 12}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
1100.
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L - точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L - точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
565.
В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы BAM и CDM прямые.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен \[{64^ \circ }\], а расстояние от точки M до прямой BC равно стороне AD.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен \[{64^ \circ }\], а расстояние от точки M до прямой BC равно стороне AD.
1105.
Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что \[\angle BAC + \angle AKC = {90^ \circ }\].
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если \[\cos \angle BAC = \frac{3}{5}\], а BC = 48.
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если \[\cos \angle BAC = \frac{3}{5}\], а BC = 48.
1107.
Высоты \[B{B_1}\] и \[C{C_1}\] остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что \[\angle B{B_1}{C_1} = \angle BAH\].
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если \[{B_1}{C_1} = 10\sqrt 3 \] и \[\angle BAC = {60^ \circ }\].
а) Докажите, что \[\angle B{B_1}{C_1} = \angle BAH\].
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если \[{B_1}{C_1} = 10\sqrt 3 \] и \[\angle BAC = {60^ \circ }\].