Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L - точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
\vartriangle AEM \sim \vartriangle AOC,{\text{ }}k = 2 \Rightarrow \angle AEM = \angle AOC \Rightarrow \hfill \\
\angle AKM = \angle ABC \Rightarrow KM\parallel BC. \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
AL = x,{\text{ }}KL = y,{\text{ }}AK = a,{\text{ }}AM = b \hfill \\
\vartriangle AKM \sim \vartriangle ABC,{\text{ }}k = 2 \Rightarrow KM = 8 \hfill \\
{\text{Теорема о произведении пересекающихся хорд:}} \hfill \\
AL \cdot LP = KL \cdot ML \Leftrightarrow {x^2} = y \cdot \left( {8 - y} \right). \hfill \\
{\text{Теорема синусов для }}\vartriangle AKM: \hfill \\
\frac{{KM}}{{\sin A}} = AO \Leftrightarrow \frac{8}{{\sin A}} = 10 \Leftrightarrow \sin A = \frac{4}{5} \Rightarrow \cos A = \frac{3}{5} \hfill \\
{\text{Теорема косинусов для }}\vartriangle AKM \hfill \\
K{M^2} = A{K^2} + A{M^2} - 2 \cdot AK \cdot AM \cdot \cos A \Leftrightarrow {8^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \frac{3}{5}. \hfill \\
KM\parallel BC \Rightarrow EP \bot KM \Rightarrow P{\text{ - середина дуги }}KPM \Rightarrow \hfill \\
AP{\text{ - биссектриса }}\angle BAC. \hfill \\
{\text{Основное свойство биссектрисы: }}\frac{{AK}}{{AM}} = \frac{{KL}}{{LM}} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{y}{{8 - y}}. \hfill \\
{\text{Теорема о секущей и касательной к окружности:}} \hfill \\
C{P^2} = CM \cdot AC \Leftrightarrow {\left( {16 - 2y} \right)^2} = b \cdot 2b. \hfill \\
{\text{Получаем систему:}} \hfill \\
\left\{ \begin{array}{l}
{8^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab \cdot \frac{3}{5} \hfill \\
{x^2} = y \cdot \left( {8 - y} \right) \hfill \\
\frac{a}{b} = \frac{y}{{8 - y}} \hfill \\
{\left( {16 - 2y} \right)^2} = b \cdot 2b \hfill \\
\end{array} \right. \hfill \\
{\text{Решив систему}}{\text{, получим }}x = \sqrt {10} . \hfill \\
\end{array}\]
\[\sqrt {10} \]