В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M.
а) Докажите, что отрезок BM не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.
б) Найдите \[\sin \angle BMC\], если известно, что отрезок ВМ в 2,5 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

\[\begin{array}{l} {\text{Четырёхугольник }}ABCD{\text{ вписан в окружность радиуса }}R = 8.{\text{ Известно}}{\text{, что}} \hfill \\ AB = BC = CD = 12. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что прямые }}BC{\text{ и }}AD{\text{ параллельны}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{б) Найдите }}AD. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} ABCD,{\text{ }}ACFE{\text{ и }}EDPQ{\text{ - квадраты (см}}{\text{. рис}}{\text{.)}}{\text{.}} \hfill \\ CO = OF \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}O{\text{ - центр квадрата }}EDPQ. \hfill \\ {\text{б) Найдите длину отрезка }}CQ{\text{, если }}AB = 1. \hfill \\ \end{array}\]

Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L - точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC = 16.

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен \[{\sqrt {23} }\].

Высоты тупоугольного треугольника ABC с тупым углом ABC пересекаются в точке H. Угол AHC равен \[{60^ \circ }\].
а) Докажите, что угол ABC равен \[{120^ \circ }\].
б) Найдите BH, если AB = 6, BC = 10.

\[\begin{array}{l} {\text{Окружности радиусов 1 и 7 с центрами }}{O_1}{\text{ и }}{O_2}{\text{ соответственно касаются}} \hfill \\ {\text{в точке }}A.{\text{ Прямая}}{\text{, проходящая через точку }}A{\text{, вторично пересекает меньшую}} \hfill \\ {\text{окружность в точке }}B{\text{, а большую - в точке }}C.{\text{ Найдите площадь треугольника}} \hfill \\ BC{O_2}{\text{, если }}\angle AB{O_1} = {22,5^ \circ }. \hfill \\ \end{array}\]

Из точки A к окружности проведены касательная AM (M - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K и L (AK = AL + LK), такая, что треугольник AMK остроугольный. Расстояние от центра окружности до хорды KM равно половине радиуса окружности.
а) Докажите, что угол AMK равен \[{60^ \circ }\].
б) Найдите площадь треугольника AMK, если L - середина AK и радиус окружности равен 2.