\[\begin{array}{l} {\text{а)}} \hfill \\ {\text{Пусть окружность касается стороны }}BC{\text{ в точке }}H. \hfill \\ \angle OBH = {30^ \circ } \Rightarrow BO = 2 \cdot OH = 2r. \hfill \\ {\text{По неравенству треугольника }}BM < BO + OM = 2r + r = 3r. \hfill \\ {\text{б)}} \hfill \\ \sin \angle BMC = \sin \left( {\angle BMO + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \angle BMO. \hfill \\ {\text{По теореме косинусов имеем}} \hfill \\ B{O^2} = O{M^2} + B{M^2} - 2 \cdot OM \cdot BM \cdot \cos \angle BMO \Leftrightarrow \hfill \\ 4{r^2} = {r^2} + {\left( {\frac{5}{2}r} \right)^2} - 2 \cdot r \cdot \frac{5}{2}r \cdot \cos \angle BMO \Leftrightarrow \cos \angle BMO = 0,65. \hfill \\ \end{array}\]

0,65