Из точки A к окружности проведены касательная AM (M - точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K и L (AK = AL + LK), такая, что треугольник AMK остроугольный. Расстояние от центра окружности до хорды KM равно половине радиуса окружности.
а) Докажите, что угол AMK равен \[{60^ \circ }\].
б) Найдите площадь треугольника AMK, если L - середина AK и радиус окружности равен 2.
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
{\text{Пусть }}OE \bot KM. \hfill \\
\angle AMO = {90^ \circ }. \hfill \\
OE = \frac{1}{2}OM \Rightarrow \angle EMO = {30^ \circ } \Rightarrow \angle AMK = {90^ \circ } - {30^ \circ } = {60^ \circ }. \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
LE{\text{ - средняя линия }}\vartriangle AMK. \hfill \\
LE = x \Rightarrow AM = 2x. \hfill \\
AL = LK = y \hfill \\
{\text{Теорема о касательной и секущей:}} \hfill \\
A{M^2} = AL \cdot AK \Leftrightarrow 4{x^2} = y \cdot 2y \Leftrightarrow y = x\sqrt 2 . \hfill \\
LE\parallel AM \Rightarrow \angle LEK = {60^ \circ }. \hfill \\
{\text{Теорема косинусов для }}\vartriangle LEK: \hfill \\
L{K^2} = L{E^2} + E{K^2} - 2 \cdot LE \cdot EK \cdot \cos \angle LEK \Leftrightarrow \hfill \\
2{x^2} = {x^2} + 3 - 2x \cdot \sqrt 3 \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {15} - \sqrt 3 }}{2}. \hfill \\
{S_{AMK}} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MK \cdot \sin \angle AMK = \hfill \\
\frac{1}{2} \cdot \left( {\sqrt {15} - \sqrt 3 } \right) \cdot 2\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\left( {\sqrt {15} - \sqrt 3 } \right)}}{2}. \hfill \\
\end{array}\]
б) \[\frac{{3\left( {\sqrt {15} - \sqrt 3 } \right)}}{2}\]
