\[\begin{array}{l}
ABCD,{\text{ }}ACFE{\text{ и }}EDPQ{\text{ - квадраты (см}}{\text{. рис}}{\text{.)}}{\text{.}} \hfill \\
CO = OF \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что }}O{\text{ - центр квадрата }}EDPQ. \hfill \\
{\text{б) Найдите длину отрезка }}CQ{\text{, если }}AB = 1. \hfill \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
{\text{Пусть }}AB = 1. \hfill \\
AC = \sqrt 2 \hfill \\
\angle DAE = {135^ \circ } \hfill \\
{\text{По теореме косинусов для треугольника }}DAE{\text{ находим}}{\text{, что }}DE = \sqrt 5 . \hfill \\
{\text{Треугольники }}OFE{\text{ и }}OCA{\text{ равны}} \Rightarrow OE = OA = \frac{{\sqrt {10} }}{2}. \hfill \\
{\text{По теореме косинусов для треугольника }}DCO{\text{ находим}}{\text{, что }}DO = \frac{{\sqrt {10} }}{2}, \hfill \\
{\text{т}}{\text{.е}}{\text{. }}DO = OE = AO. \hfill \\
{\text{По теореме косинусов для треугольника }}PCD{\text{ находим}}{\text{, что }}PC = \sqrt 2 , \hfill \\
{\text{т}}{\text{.е}}{\text{. }}PC = AC \Rightarrow {\text{треугольники }}PCO{\text{ и }}ACO{\text{ равны}} \Rightarrow PO = DO. \hfill \\
{\text{Значит}}{\text{, }}O{\text{ - центр окружности}}{\text{, проходящей через точки }}P,D,E. \hfill \\
{\text{Эта окружность проходит также через точку }}Q \Rightarrow \hfill \\
O{\text{ - центр квадрата }}PQED{\text{, ч}}{\text{.т}}{\text{.д}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
{\text{По теореме косинусов для треугольника }}DCF{\text{ находим}}{\text{, что }}DF = \sqrt 5 . \hfill \\
{\text{Треугольники }}COQ{\text{ и }}DOF{\text{ равны по 1 - му признаку}} \Rightarrow \hfill \\
CQ = DF = \sqrt 5 . \hfill \\
\end{array}\]
\[CQ = \sqrt 5 \]