В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы BAM и CDM прямые.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен \[{64^ \circ }\], а расстояние от точки M до прямой BC равно стороне AD.
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
P = AB \cap CD \hfill \\
AD{\text{ - средняя линия }}\vartriangle PBC. \hfill \\
AM{\text{ и }}DM{\text{ - серединные перпендикуляры к сторонам }}BP{\text{ и }}CP \Rightarrow \hfill \\
M{\text{ - центр описанной около }}\vartriangle PBC{\text{ окружности}} \Rightarrow BM = CM. \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
ME \bot BC \hfill \\
ME = EC \Rightarrow \angle ECM = \angle EMC = {45^ \circ }. \hfill \\
\angle MCD = {64^ \circ } - {45^ \circ } = {19^ \circ }. \hfill \\
\angle CMD = {90^ \circ } - {19^ \circ } = {71^ \circ }. \hfill \\
\angle PMC = 2 \cdot \angle CMD \hfill \\
\angle ABC = \frac{1}{2}\angle PMC = \angle CMD = {71^ \circ }. \hfill \\
\end{array}\]
\[\angle ABC = {71^ \circ }\]
