Трапеция
163.
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10.
541.
$$\eqalign{
{\text{В трапеции }}ABCD{\text{ боковая сторона }}AB{\text{ перпендикулярна основаниям}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{Из точки }}A{\text{ на сторону }}CD{\text{ опустили перпендикуляр }}AH.{\text{ На стороне}} \hfill \\
AB{\text{ отмечена точка }}E{\text{ так}}{\text{, что прямые }}CD{\text{ и }}CE{\text{ перпендикулярны}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что прямые }}BH{\text{ и }}ED{\text{ параллельны}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{б) Найдите отношение }}BH{\text{ к }}ED{\text{, если }}\angle BCD = {120^ \circ }. \hfill \\
} $$
565.
В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы BAM и CDM прямые.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен \[{64^ \circ }\], а расстояние от точки M до прямой BC равно стороне AD.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен \[{64^ \circ }\], а расстояние от точки M до прямой BC равно стороне AD.
434.
Сумма оснований трапеции равна 13, диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
а) Докажите, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
888.
\[\begin{array}{l}
{\text{Боковые стороны }}KL{\text{ и }}MN{\text{ трапеции }}KLMN{\text{ равны 8 и 17 соответственно}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{Отрезок}}{\text{, соединяющий середины диагоналей}}{\text{, равен 7}}{\text{,5}}{\text{, средняя линия}} \hfill \\
{\text{трапеции равна 17}}{\text{,5}}{\text{. Прямые }}KL{\text{ и }}MN{\text{ пересекаются в точке }}A.{\text{ Найдите}} \hfill \\
{\text{радиус окружности}}{\text{, вписанной в треугольник }}ALM. \hfill \\
\end{array}\]
1089.
\[\begin{array}{l}
{\text{Окружность с центром }}{O_1}{\text{ касается оснований }}BC{\text{ и }}AD{\text{ и боковой стороны }}AB{\text{ трапеции}} \hfill \\
ABCD.{\text{ Окружность с центром }}{O_2}{\text{ касается сторон }}BC,{\text{ }}CD{\text{ и }}AD.{\text{ Известно}}{\text{, что }}AB = 10, \hfill \\
BC = 9,{\text{ }}CD = 30,{\text{ }}AD = 39. \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что прямая }}{O_1}{O_2}{\text{ параллельна основаниям трапеции }}ABCD. \hfill \\
{\text{б) Найдите }}{O_1}{O_2}. \hfill \\
\end{array}\]
1092.
\[\begin{array}{l}
{\text{Окружность с центром в точке }}O{\text{ высекает на всех сторонах трапеции }}ABCD{\text{ равные хорды}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{б) Найдите высоту трапеции}}{\text{, если окружность пересекает боковую сторону }}AB \hfill \\
{\text{в точках }}K{\text{ и }}L{\text{ так}}{\text{, что }}AK = 15,{\text{ }}KL = 6,{\text{ }}LB = 5. \hfill \\
\end{array}\]
1095.
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.
1101.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N - середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
1103.
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая - боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что \[\frac{{AP}}{{PD}} = \sin D\].
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны \[\frac{4}{3}\] и \[\frac{1}{3}\].
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что \[\frac{{AP}}{{PD}} = \sin D\].
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны \[\frac{4}{3}\] и \[\frac{1}{3}\].
1115.
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC - биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 12 и BD = 6,5.
а) Докажите, что луч AC - биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 12 и BD = 6,5.
1094.
В трапеции ABCD точка E - середина основания AD, точка M - середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DM пересекаются в точке O.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.
а) Докажите, что площади четырёхугольника AMOE и треугольника COD равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника AMOE, если BC = 3, AD = 4.