В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая - боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что \[\frac{{AP}}{{PD}} = \sin D\].
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны \[\frac{4}{3}\] и \[\frac{1}{3}\].
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
K = AB \cap CD \hfill \\
KP{\text{ - биссектриса угла }}AKD. \hfill \\
{\text{По основному свойству биссектрисы }}\frac{{AP}}{{PD}} = \frac{{AK}}{{KD}} = \sin D. \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
{\text{Пусть меньшая окружность касается }}AB{\text{ в точке }}M{\text{,}} \hfill \\
{\text{а большая окружность касается }}AB{\text{ в точке }}N. \hfill \\
MN = 2\sqrt {rR} = \frac{4}{3} \hfill \\
AB = AN + MN + BM = R + MN + r = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 3 \hfill \\
{\text{Введём систему координат так}}{\text{, что }}A{\text{ - начало с}}{\text{.к}}., \hfill \\
{\text{а оси идут по прямым }}AD{\text{ и }}AB. \hfill \\
O\left( {\frac{4}{3};\frac{4}{3}} \right),{\text{ }}E\left( {\frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right) \hfill \\
OE:y = kx + b \hfill \\
\left\{ \begin{array}{l}
\frac{4}{3} = k \cdot \frac{4}{3} + b \hfill \\
\frac{8}{3} = k \cdot \frac{1}{3} + b \hfill \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = - \frac{4}{3} \hfill \\
b = \frac{{28}}{9} \hfill \\
\end{array} \right. \Rightarrow OE:{\text{ }}y = - \frac{4}{3}x + \frac{{28}}{9}. \hfill \\
K\left( {0;\frac{{28}}{9}} \right) \Rightarrow AK = \frac{{28}}{9} \hfill \\
AP = \frac{7}{3} \hfill \\
BK = \frac{1}{9} \hfill \\
{\text{Пусть }}\angle AKP = \alpha \hfill \\
\operatorname{tg} \angle AKP = \operatorname{tg} \alpha = \frac{{AP}}{{AK}} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{{28}} = \frac{3}{4} \hfill \\
\frac{{BC}}{{BK}} = \operatorname{tg} \left( {2\angle AKP} \right) = \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{{2\operatorname{tg} \alpha }}{{1 - {{\operatorname{tg} }^2}\alpha }} = \frac{{24}}{7} \hfill \\
\frac{{BC}}{{\frac{1}{9}}} = \frac{{24}}{7} \Leftrightarrow BC = \frac{8}{{21}}. \hfill \\
\frac{{AD}}{{AK}} = \operatorname{tg} 2\alpha \Leftrightarrow AD = \frac{{32}}{3}. \hfill \\
{S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2} \cdot AB = \frac{{\frac{{32}}{3} + \frac{8}{{21}}}}{2} \cdot 3 = \frac{{116}}{7}. \hfill \\
\end{array}\]
б) \[\frac{{116}}{7}\]