\[\begin{array}{l} {\text{Окружность проходит через вершины }}A,{\text{ }}B{\text{ и }}D{\text{ параллелограмма }}ABCD{\text{,}} \hfill \\ {\text{пересекает сторону }}BC{\text{ в точках }}B{\text{ и }}E{\text{ и пересекает продолжение стороны}} \hfill \\ CD{\text{ за точку }}D{\text{ в точке }}K. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}AE = AK. \hfill \\ {\text{б) Найдите отношение }}KE:BD{\text{, если }}\angle BAD = {60^ \circ }. \hfill \\ \end{array}\]

В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая - боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что \[\frac{{AP}}{{PD}} = \sin D\].
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны \[\frac{4}{3}\] и \[\frac{1}{3}\].

Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен \[{\sqrt {23} }\].

Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK = 4 и MK = 12.

Через вершину T остроугольного треугольника TCD проведена касательная l к окружности, описанной около этого треугольника. Точки A и B - основания перпендикуляров, опущенных из точек D и C соответственно на прямую l, TH - высота треугольника TCD.
а) Докажите, что угол HTC равен углу TDA.
б) Найдите TH, если BC=\[2\sqrt 2 \], AD=\[4\sqrt 2 \].

\[\begin{array}{l} {\text{На стороне }}BA{\text{ угла }}ABC{\text{, равного 3}}{{\text{0}}^ \circ },{\text{ взята такая точка }}D{\text{, что }}AD = 2{\text{ и}} \hfill \\ BD = 1.{\text{ Найдите радиус окружности}}{\text{, проходящей через точки }}A,D{\text{ и}} \hfill \\ {\text{касающейся прямой }}BC. \hfill \\ \end{array}\]