В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N - середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
{S_{BLN}} = {S_{LCN}},{\text{ }}{S_{ABLN}} = {S_{NLCD}} \Rightarrow {S_{ABN}} = {S_{NCD}} \hfill \\
\left. \begin{array}{l}
{S_{ABN}} = {S_{NCD}} \hfill \\
AN = ND \hfill \\
\end{array} \right\} \Rightarrow {\text{высоты }}BP{\text{ и }}CQ{\text{ треугольников}} \hfill \\
ABN{\text{ и }}NCD{\text{ равны}} \Rightarrow PBCQ{\text{ - прямоугольник}} \Rightarrow \hfill \\
BC\parallel AD,{\text{ ч}}{\text{.т}}{\text{.д}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
BC\parallel AD \Rightarrow ABCD,{\text{ }}KBCM,{\text{ }}AKMD{\text{ - трапеции}}{\text{.}} \hfill \\
F = BP \cap KM,{\text{ }}BF = FP = h,{\text{ }}AD = a,{\text{ }}BC = b. \hfill \\
KM{\text{ - средняя линия трапеции }}ABCD \Rightarrow KM = \frac{{a + b}}{2}. \hfill \\
\frac{{{S_{KBCM}}}}{{{S_{AKMD}}}} = \frac{{11}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{b + \frac{{a + b}}{2}}}{2} \cdot h}}{{\frac{{a + \frac{{a + b}}{2}}}{2} \cdot h}} = \frac{{11}}{{17}} \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{2}{5}. \hfill \\
\end{array}\]
\[\frac{2}{5}\]
