Параллельные прямые
1095.
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM:MC = 1:3.
541.
$$\eqalign{
{\text{В трапеции }}ABCD{\text{ боковая сторона }}AB{\text{ перпендикулярна основаниям}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{Из точки }}A{\text{ на сторону }}CD{\text{ опустили перпендикуляр }}AH.{\text{ На стороне}} \hfill \\
AB{\text{ отмечена точка }}E{\text{ так}}{\text{, что прямые }}CD{\text{ и }}CE{\text{ перпендикулярны}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что прямые }}BH{\text{ и }}ED{\text{ параллельны}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{б) Найдите отношение }}BH{\text{ к }}ED{\text{, если }}\angle BCD = {120^ \circ }. \hfill \\
} $$
1093.
\[\begin{array}{l}
{\text{Четырёхугольник }}ABCD{\text{ вписан в окружность радиуса }}R = 8.{\text{ Известно}}{\text{, что}} \hfill \\
AB = BC = CD = 12. \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что прямые }}BC{\text{ и }}AD{\text{ параллельны}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{б) Найдите }}AD. \hfill \\
\end{array}\]
1097.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если \[\angle ABC = {30^ \circ }\].
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если \[\angle ABC = {30^ \circ }\].
1101.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, L, M и N - середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Площади четырёхугольников ABLN и NLCD равны, а площади четырёхугольников KBCM и AKMD относятся как 11:17.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите отношение BC к AD.
1104.
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен \[{\sqrt {23} }\].
а) Докажите, что CN:CM = LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA = 2:3, а радиус малой окружности равен \[{\sqrt {23} }\].
1107.
Высоты \[B{B_1}\] и \[C{C_1}\] остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что \[\angle B{B_1}{C_1} = \angle BAH\].
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если \[{B_1}{C_1} = 10\sqrt 3 \] и \[\angle BAC = {60^ \circ }\].
а) Докажите, что \[\angle B{B_1}{C_1} = \angle BAH\].
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если \[{B_1}{C_1} = 10\sqrt 3 \] и \[\angle BAC = {60^ \circ }\].