Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что \[\angle BAC + \angle AKC = {90^ \circ }\].
а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника OBKC, если \[\cos \angle BAC = \frac{3}{5}\], а BC = 48.
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
{\text{Пусть }}\angle AKC = \alpha \Rightarrow \angle BAC = \frac{\pi }{2} - \alpha \Rightarrow \hfill \\
\angle BOC = \pi - 2\alpha \Rightarrow \angle OBC = \alpha . \hfill \\
\angle OBC = \angle AKC \Rightarrow {\text{точка }}K{\text{ принадлежит окружности}}{\text{,}} \hfill \\
{\text{описанной около треугольника }}OBC{\text{, т}}{\text{.е}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{четырёхугольник }}OBKC{\text{ - вписанный}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
\cos \angle BAC = \frac{3}{5} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{3}{5}. \hfill \\
\sin \angle BOC = \sin \left( {\pi - 2\alpha } \right) = \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{{24}}{{25}}. \hfill \\
{\text{Теорема синусов для }}\vartriangle OBC: \hfill \\
\frac{{BC}}{{\sin \angle BOC}} = 2R \Leftrightarrow \frac{{48}}{{\frac{{24}}{{25}}}} = 2R \Leftrightarrow R = 25. \hfill \\
\end{array}\]
б) 25
