\[\begin{array}{l}{\text{Точка }}O{\text{ - центр окружности}}{\text{, описанной около остроугольного треугольника}}\\ABC,{\text{ }}I{\text{ - центр вписанной в него окружности}}{\text{, }}H{\text{ - точка пересечения высот}}{\text{.}}\\{\text{Известно}}{\text{, что }}\angle BAC = \angle OBC + \angle OCB.\\{\text{а) Докажите}}{\text{, что точка }}H{\text{ лежит на окружности}}{\text{, описанной около}}\\{\text{треугольника }}BOC.\\{\text{б) Найдите угол }}OHI,{\text{ если }}\angle ABC = {40^ \circ }.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\angle BAC = \angle OBC + \angle OCB \Rightarrow \angle A = {60^ \circ } \Rightarrow \angle BOC = {120^ \circ }.\\OB = OC \Rightarrow \angle BCO = \angle OBC = {30^ \circ }.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\angle C = \alpha \Rightarrow \angle CBH = {90^ \circ } - \alpha \Rightarrow \angle CBK = {120^ \circ } - \alpha \Rightarrow \angle BCK = \alpha - {30^ \circ }\\\angle BHC = {180^ \circ } - \left( {{{90}^ \circ } - \alpha + \alpha - {{30}^ \circ }} \right) = {120^ \circ } = \angle BOC \Rightarrow \\{\text{точки }}B,O,H,C{\text{ лежат на одной окружности}}{\text{.}}\end{array}\]
\[{\text{б) }}\angle ABO = \angle ABC - \angle OBC = {40^ \circ } - {30^ \circ } = {10^ \circ }.\]
\[\angle OHI = \angle OBI = \angle ABI - \angle ABO = {20^ \circ } - {10^ \circ } = {10^ \circ }.\]
\[{10^ \circ }\]
