Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей - в точке B, отличной от A. Прямая AC вторично пересекает бо'льшую окружность в точке D, прямая BC вторично пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L - отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
{\text{Пусть касательная к окружностям}}{\text{, проходящая через точку касания}} \hfill \\
{\text{окружностей}}{\text{, пересекает отрезок }}AB{\text{ в точке }}F. \hfill \\
{\text{Тогда }}AF = FC = FB \Rightarrow {\text{ треугольник }}ABC{\text{ прямоугольный}} \Rightarrow \hfill \\
\angle ACE = {90^ \circ } \Rightarrow AE{\text{ - диаметр окружности}} \Rightarrow AE \bot AB. \hfill \\
{\text{Аналогично}}{\text{, }}BD \bot AB.{\text{ Следовательно}}{\text{, }}AE\parallel BD. \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
AB = 2\sqrt {Rr} = 2\sqrt {10} \hfill \\
{\text{Из треугольника }}EAB{\text{ находим}}{\text{, что }}BE = 2\sqrt {14} . \hfill \\
AC \cdot BE = AE \cdot AB \Leftrightarrow AC = 4\sqrt {\frac{5}{7}} . \hfill \\
{\text{Из треугольника }}AEC{\text{ находим}}{\text{, что }}EC = \frac{{4\sqrt {14} }}{7}. \hfill \\
E{D^2} = A{B^2} + {\left( {R - r} \right)^2} \Leftrightarrow ED = 2\sqrt {19} . \hfill \\
EL \cdot ED = EC \cdot BE \Leftrightarrow EL = \frac{8}{{\sqrt {19} }}. \hfill \\
\end{array}\]
б) \[\frac{8}{{\sqrt {19} }}\]
