На прямой, содержащей биссектрису AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удалённая от вершины A на расстояние, равное \[\sqrt {26} \]. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 5, AC = 12.
\[\begin{array}{l}
{\text{1 - й случай: точка }}E{\text{ лежит внутри треугольника }}ABC. \hfill \\
AD = \frac{{12}}{5}\sqrt {26} \hfill \\
{\text{Обозначение: }}\angle CAE = \angle EAB = \alpha . \hfill \\
\sin \alpha = \frac{{CD}}{{AD}} = \frac{{12}}{5}:\frac{{12\sqrt {26} }}{5} = \frac{1}{{\sqrt {26} }} \hfill \\
{S_{CAE}} = \frac{1}{2}AC \cdot AE \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt {26} \cdot \frac{1}{{\sqrt {26} }} = 6. \hfill \\
{S_{EAB}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \sqrt {26} \cdot \frac{1}{{\sqrt {26} }} = 6,5. \hfill \\
{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30. \hfill \\
{S_{BCE}} = {S_{ABC}} - \left( {{S_{CAE}} + {S_{EAB}}} \right) = 30 - 12,5 = 17,5. \hfill \\
{\text{2 - й случай: точка }}E{\text{ лежит вне треугольника }}ABC. \hfill \\
{S_{EAC}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot EA \cdot \sin \angle EAC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot EA \cdot \sin \left( {\pi - \alpha } \right) = \hfill \\
\frac{1}{2} \cdot AC \cdot EA \cdot \sin \alpha = 6. \hfill \\
{S_{EAB}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \cdot \sin \alpha = 6,5. \hfill \\
{S_{BCE}} = {S_{ABC}} + {S_{CAE}} + {S_{EAB}} = 42,5. \hfill \\
\end{array}\]
17,5; 42,5
