Треугольники
512.
$$\eqalign{
{\text{На сторонах }}AC{\text{ и }}BC{\text{ треугольника }}ABC{\text{ вне треугольника построены}} \hfill \\
{\text{квадраты }}ACDE{\text{ и }}BFKC.{\text{ Точка }}M{\text{ - середина стороны }}AB. \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что }}CM = \frac{1}{2}DK. \hfill \\
{\text{б) Найдите расстояние от точки }}M{\text{ до центров квадратов}}{\text{, если }}AC = 10, \hfill \\
BC = 32{\text{ и }}\angle ACB = {30^ \circ }. \hfill \\
} $$
513.
На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что \[\cos \angle ABC = \frac{1}{6}\]. В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что \[\cos \angle ABC = \frac{1}{6}\]. В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
563.
Окружность проходит через вершины B и C треугольника ABC и пересекает AB и AC в точках \[{C_1}\] и \[{B_1}\] соответственно.
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику \[A{B_1}{C_1}\].
б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если \[\angle A = {135^ \circ }\], \[{B_1}{C_1} = 10\] и площадь треугольника \[A{B_1}{C_1}\] в семь раз меньше площади четырёхугольника \[BC{B_1}{C_1}\].
а) Докажите, что треугольник ABC подобен треугольнику \[A{B_1}{C_1}\].
б) Вычислите длину стороны BC и радиус данной окружности, если \[\angle A = {135^ \circ }\], \[{B_1}{C_1} = 10\] и площадь треугольника \[A{B_1}{C_1}\] в семь раз меньше площади четырёхугольника \[BC{B_1}{C_1}\].
380.
\[\begin{array}{l}{\text{В треугольнике }}ABC{\text{ известно}}{\text{, что }}\angle BAC = {60^ \circ },{\text{ }}\angle ABC = {45^ \circ }.{\text{ Продолжения}}\\{\text{высот треугольника }}ABC{\text{ пересекают описанную около него окружность в}}\\{\text{точках }}M,N,P.\\{\text{а) Докажите}}{\text{, что треугольник }}MNP{\text{ прямоугольный}}{\text{.}}\\{\text{б) Найдите площадь треугольника }}MNP{\text{, если известно}}{\text{, что }}BC = 10.\end{array}\]
542.
В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC=8.
а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.
б) Найдите MK, если AB = 5, AC=8.
1109.
На прямой, содержащей биссектрису AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удалённая от вершины A на расстояние, равное \[\sqrt {26} \]. Найдите площадь треугольника BCE, если BC = 5, AC = 12.