\[\begin{array}{l} {\text{Решения }}\left( {1;1} \right){\text{ и }}\left( {2;3} \right){\text{ очевидны}}{\text{. Докажем}}{\text{, что}}\\ {\text{других решений нет}}{\text{.}} \end{array}\]
\[{\text{Перепишем уравнение в виде: }}{3^k} - 1 = {2^n}.\]
\[\begin{array}{l} {\text{Если }}k > 1{\text{ нечётно}}{\text{, то уравнение можно переписать в виде}}\\ 2 \cdot \left( {{3^{k - 1}} - {3^{k - 2}} + {3^{k - 3}} - ... + 1} \right) = {2^n}{\text{,}}\\ {\text{где второй сомножитель - нечётное число}} \Rightarrow {\text{решений нет}}{\text{.}} \end{array}\]
\[\begin{array}{l} {\text{Если }}k{\text{ чётно}}{\text{, то уравнение можем переписать в виде}}\\ \left( {{3^{\frac{k}{2}}} - 1} \right) \cdot \left( {{3^{\frac{k}{2}}} + 1} \right) = {2^n},\\ {\text{где в левой части - произведение двух последовательных}}\\ {\text{чётных чисел}}{\text{, каждое из которых должно быть степенью}}\\ {\text{двойки}}{\text{, а это возможно только для чисел 2 и 4}}{\text{.}} \end{array}\]

\[\left( {1;1} \right),\left( {2;3} \right)\]