Вычислите длину дуги кривой, заданной в полярных координатах:
$%\rho = 2a\sin \varphi ,{\text{ }}0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{4}.$%
$%\begin{array}{l}
L = \int\limits_\alpha ^\beta {\sqrt {{\rho ^2} + {{\left( {\rho '} \right)}^2}} d\varphi } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {{{\left( {2a\sin \varphi } \right)}^2} + {{\left( {2a\cos \varphi } \right)}^2}} d\varphi } = \hfill \\
2a\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\sqrt {{{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\varphi } d\varphi } = 2a\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {1d\varphi } = 2a \cdot \frac{\pi }{4} = \frac{{\pi \cdot a}}{2} \hfill \\
\end{array} $%
$%\frac{{\pi \cdot a}}{2}$%
