\[\begin{array}{l}{\text{Данное уравнение является симметрическим}}{\text{.}}\\{\text{Разделим его на }}{x^2}{\text{ и сделаем замену}}\\x + \frac{1}{x} = t,{\text{ }}{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2.\end{array}\]

\[\begin{array}{l}{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\text{разделим уравнение}}\\{\text{на }}{x^2}\end{array} \right] \Leftrightarrow \\{x^2} + x - 4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\text{перегруппируем}}\\{\text{слагаемые}}\end{array} \right] \Leftrightarrow \\{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + x + \frac{1}{x} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\text{Замена }}x + \frac{1}{x} = t \Rightarrow \\{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2\end{array} \right] \Leftrightarrow \\{t^2} - 2 + t - 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 3\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \\\left[ \begin{array}{l}x + \frac{1}{x} = - 3\\x + \frac{1}{x} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\]

\[\left\{ {\frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2};1} \right\}\]