\[{\text{Решите уравнение в целых числах:}}\]
$%x + y = {x^2} - xy + {y^2}$%
Рассмотрите уравнение как квадратное относительно x.
\[\begin{array}{l}{\text{Перепишем уравнение в виде}}\\{x^2} - \left( {y + 1} \right)x + {y^2} - y = 0\\{\text{Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно }}x.\\D = - 3{y^2} + 6y + 1\\{\text{Уравнение имеет корни}}{\text{, если дискриминант неотрицателен}}{\text{,}}\\{\text{т}}{\text{.е}}{\text{. }}D \ge 0 \Leftrightarrow - 3{y^2} + 6y + 1 \ge 0 \Leftrightarrow y \in \left[ {\frac{{3 - 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right].\\{\text{Из целых чисел только 0}}{\text{, 1}}{\text{, 2 содержатся в этом интервале}}{\text{.}}\\{\text{Перебирая их}}{\text{, находим все целые решения уравнения}}{\text{.}}\end{array}\]
\[\left( {0;0} \right),\left( {0;1} \right),\left( {1;0} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2;1} \right),\left( {2;2} \right)\]
