\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{x\sin x + \cos x}}{{{{\cos }^2}x + {x^2}}}dx} = \operatorname{arctg} 2\pi .\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x}} = \sqrt 5 \pi .} \]

\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\prod\limits_{k = 1}^8 {\sin \left( {kx} \right)} } \right)dx} = \frac{\pi }{{256}}.\]