\[\begin{array}{l} {S_{ASB}} = \frac{1}{2} \cdot {13^2} = \frac{{169}}{2} \hfill \\ AB = \sqrt {{{13}^2} + {{13}^2}} = 13\sqrt 2 . \hfill \\ {\text{Обозначение: }}\angle AOB = \alpha . \hfill \\ OE = x{\text{ - перпендикуляр из точки }}O{\text{ на плоскость }}ASB. \hfill \\ {\text{Теорема косинусов для }}\vartriangle AOB: \hfill \\ A{B^2} = A{O^2} + B{O^2} - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha = - \frac{{25}}{{144}} \hfill \\ \sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \frac{{13\sqrt {119} }}{{144}}. \hfill \\ {S_{AOB}} = \frac{1}{2}AO \cdot OB \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 144 \cdot \frac{{13\sqrt {119} }}{{144}} = \frac{{13\sqrt {119} }}{2}. \hfill \\ {V_{SAOB}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{AOB}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot {S_{ASB}} \cdot x \Leftrightarrow x = \frac{{5\sqrt {119} }}{{13}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\frac{{5\sqrt {119} }}{{13}}\]