\[\begin{array}{l} {\text{а)}} \hfill \\ {\text{Введём систему координат}}{\text{.}} \hfill \\ A\left( {0;0;0} \right),{\text{ }}B\left( {6;0;0} \right),{\text{ }}C\left( {3;3\sqrt 3 ;0} \right) \hfill \\ \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow BE = \frac{5}{2} \hfill \\ \frac{{DE}}{{BD}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow DE = \frac{{5\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ AE = 6 - \frac{5}{2} = \frac{7}{2} \hfill \\ \gamma \parallel AC \Rightarrow {\text{плоскость }}\gamma {\text{ пересекает ребро }}BC{\text{ в точки }}D \hfill \\ {\text{так}}{\text{, что }}KD\parallel AC \Rightarrow CD = 1. \hfill \\ K\left( {1;0;0} \right);{\text{ }}D\left( {\frac{7}{2};\frac{{5\sqrt 3 }}{2};0} \right);{\text{ }}G\left( {\frac{9}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};0} \right){\text{; }}L\left( {\frac{9}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};3} \right) \hfill \\ \overrightarrow {DK} = \left\{ {\frac{5}{2};\frac{{5\sqrt 3 }}{2};0} \right\};{\text{ }}\overrightarrow {KL} = \left\{ {\frac{7}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};3} \right\} \hfill \\ {\text{Пусть }}\overrightarrow n = \left\{ {a;b;1} \right\}{\text{ - нормаль плоскости }}\gamma . \hfill \\ \left\{ \begin{array}{l} n \cdot \overrightarrow {DK} = 0 \hfill \\ n \cdot \overrightarrow {KL} = 0 \hfill \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{2}a + \frac{{5\sqrt 3 }}{2}b + 0 \cdot 1 = 0 \hfill \\ \frac{7}{2}a + \frac{{3\sqrt 3 }}{2}b + 3 = 0 \hfill \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - \frac{3}{2} \hfill \\ b = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{array} \right. \hfill \\ \overrightarrow n = \left\{ { - \frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};1} \right\} \hfill \\ {\text{Умножим координаты вектора }}\overrightarrow n {\text{ на 2}}{\text{.}} \hfill \\ \overrightarrow n = \left\{ { - 3;\sqrt 3 ;2} \right\} \hfill \\ H\left( {\frac{3}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};0} \right);M\left( {\frac{3}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};3} \right);B\left( {6;0;0} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BM} = \left\{ { - \frac{9}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};3} \right\} = \frac{3}{2}\left\{ { - 3;\sqrt 3 ;2} \right\} = \frac{3}{2}\overrightarrow n \Rightarrow \overrightarrow {BM} \parallel \overrightarrow n \Rightarrow BM \bot \gamma . \hfill \\ {\text{б)}} \hfill \\ {\text{Плоскость }}\gamma {\text{ имеет нормаль }}\overrightarrow n = \left\{ { - 3;\sqrt 3 ;2} \right\}{\text{ и проходит}} \hfill \\ {\text{через точку }}K\left( {1;0;0} \right) \Rightarrow {\text{уравнение плоскости}} \hfill \\ \gamma : - 3\left( {x - 1} \right) + \sqrt 3 y + 2z = 0 \hfill \\ \gamma : - 3x + \sqrt 3 y + 2z + 3 = 0 \hfill \\ {\text{Расстояние от точки }}C{\text{ до плоскости }}\gamma : \hfill \\ \rho \left( {C,\gamma } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| { - 3 \cdot 3 + \sqrt 3 \cdot 3\sqrt 3 + 2 \cdot 0 + 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\sqrt 3 }^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{4}. \hfill \\ \end{array}\]

б) \[\frac{3}{4}\]