\[\begin{array}{l} {\text{Дан куб }}ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{\text{, введена система координат так}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{что }}A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),{A_1}\left( {0;0;1} \right). \hfill \\ H{\text{ - середина }}D{D_1},{\text{ }}K{\text{ - середина }}AH. \hfill \\ {\text{а) Найдите координаты точки }}K; \hfill \\ {\text{б) Найдите координаты векторов }}\overrightarrow {KB} ,\overrightarrow {K{D_1}} ; \hfill \\ {\text{в) Определите координаты какого - либо вектора }}\overrightarrow n \hfill \\ {\text{такого}}{\text{, что }}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {KB} {\text{ и }}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {K{D_1}} ; \hfill \\ {\text{г) Напишите уравнение плоскости }}KB{D_1}; \hfill \\ {\text{д) Найдите расстояние от точки }}{B_1}{\text{ до плоскости }}KB{D_1}; \hfill \\ {\text{е) Докажите}}{\text{, что }}O \in \left( {KB{D_1}} \right). \hfill \\ \end{array} \]

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона AB основания равна 12, а высота пирамиды равна 1. На рёбрах AB, AC и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = AN = 3 и AK = 7/4.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SBC.

\[\begin{array}{l} {\text{В правильной треугольной призме }}ABC{A_1}{B_1}{C_1}{\text{ сторона }}AB{\text{ основания равна 6}}{\text{, а боковое}} \hfill \\ {\text{ребро }}A{A_1}{\text{ равно 3}}{\text{. На рёбрах }}AB{\text{ и }}{B_1}{C_1}{\text{ отмечены точки }}K{\text{ и }}L{\text{ соответственно}}{\text{, причём}} \hfill \\ AK = {B_1}L = 2.{\text{ Точка }}M{\text{ - середина ребра }}{A_1}{C_1}.{\text{ Плоскость }}\gamma {\text{ параллельна прямой }}AC{\text{ и}} \hfill \\ {\text{содержит точки }}K{\text{ и }}L. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что прямая }}BM{\text{ перпендикулярна плоскости }}\gamma . \hfill \\ {\text{б) Найдите объём пирамиды}}{\text{, вершина которой - точка }}M,{\text{ а основание - сечение данной}} \hfill \\ {\text{призмы плоскостью }}\gamma {\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

В правильной треугольной призме \[ABC{A_1}{B_1}{C_1}\] сторона AB основания равна 6, а боковое ребро \[A{A_1}\] равно 3. На ребре AB отмечена точка K так, что AK = 1. Точки M и L - середины рёбер \[{A_1}{C_1}\] и \[{B_1}{C_1}\] соответственно. Плоскость \[\gamma \] параллельна прямой AC и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости \[\gamma \].
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости \[\gamma \].

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.

\[\begin{array}{l} {\text{В правильной четырёхугольной призме }}ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{\text{ сторона }}AB{\text{ основания}} \hfill \\ {\text{равна 6}}{\text{, а боковое ребро }}A{A_1}{\text{ равно 2}}\sqrt 3 .{\text{ На рёбрах }}BC{\text{ и }}{C_1}{D_1}{\text{ отмечены точки}} \hfill \\ K{\text{ и }}L{\text{ соответственно}}{\text{, причём }}BK = {C_1}L = 2.{\text{ Плоскость }}\gamma {\text{ параллельна прямой}} \hfill \\ BD{\text{ и содержит точки }}K{\text{ и }}L. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что прямая }}{A_1}C{\text{ перпендикулярна плоскости }}\gamma . \hfill \\ {\text{б) Найдите объём пирамиды}}{\text{, вершина которой - точка }}{A_1}{\text{, а основание - }} \hfill \\ {\text{сечение данной призмы плоскостью }}\gamma {\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

В прямоугольном параллелепипеде \[ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] \[AD = 1\], \[AB = A{A_1} = 2\]. Найдите угол между прямой \[{A_1}{D_1}\] и плоскостью \[A{B_1}{D_1}\].