В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.
\[\begin{array}{l}
{\text{Введём систему координат с началом в точке }}A{\text{,}} \hfill \\
{\text{ось }}Ox{\text{ идёт по прямой }}AD{\text{, ось }}Oy{\text{ - по прямой }}AB. \hfill \\
M\left( {0;4;0} \right),{\text{ }}N\left( {16;4;0} \right),{\text{ }}K\left( {2;2;1} \right) \hfill \\
\overrightarrow {MK} = \left\{ {2; - 2;1} \right\},{\text{ }}\overrightarrow {NK} = \left\{ { - 14; - 2;1} \right\} \hfill \\
\overrightarrow n \bot \left( {MNK} \right),{\text{ }}\overrightarrow n = \left\{ {a;b;1} \right\} \hfill \\
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow n \bot \overrightarrow {MK} \hfill \\
\overrightarrow n \bot \overrightarrow {NK} \hfill \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a - 2b + 1 = 0 \hfill \\
- 14a - 2b + 1 = 0 \hfill \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 0 \hfill \\
b = \frac{1}{2} \hfill \\
\end{array} \right. \hfill \\
\overrightarrow n = \left\{ {0;\frac{1}{2};1} \right\} \to \left[ \begin{array}{l}
{\text{домножим координаты}} \hfill \\
{\text{вектора на 2}} \hfill \\
\end{array} \right] \to \left\{ {0;1;2} \right\} \hfill \\
K \in \left( {MNK} \right) \hfill \\
\left( {MNK} \right):0 \cdot \left( {x - 2} \right) + 1 \cdot \left( {y - 2} \right) + 2 \cdot \left( {z - 1} \right) = 0 \hfill \\
S\left( {8;8;4} \right),{\text{ }}B\left( {0,16,0} \right),{\text{ }}C\left( {16,16,0} \right) \hfill \\
\overrightarrow {SB} = \left\{ { - 8;8; - 4} \right\},{\text{ }}\overrightarrow {SC} = \left\{ {8;8; - 4} \right\} \hfill \\
\overrightarrow l \bot \left( {SBC} \right),{\text{ }}\overrightarrow l = \left\{ {a;b;1} \right\} \hfill \\
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow l \bot \overrightarrow {SB} \hfill \\
\overrightarrow l \bot \overrightarrow {SC} \hfill \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 8a + 8b - 4 = 0 \hfill \\
8a + 8b - 4 = 0 \hfill \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 0 \hfill \\
b = \frac{1}{2} \hfill \\
\end{array} \right. \hfill \\
\overrightarrow l = \left\{ {0;\frac{1}{2};1} \right\} \to \left\{ {0;1;2} \right\} = \overrightarrow n \Rightarrow \left( {MNK} \right)\parallel \left( {SBC} \right). \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
\left( {SBC} \right): \hfill \\
0 \cdot \left( {x - 8} \right) + 1 \cdot \left( {y - 8} \right) + 2 \cdot \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow y + 2z - 16 = 0 \hfill \\
\rho \left( {K,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {0 \cdot 2 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 16} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{12\sqrt 5 }}{5}. \hfill \\
\end{array}\]
б) \[\frac{{12\sqrt 5 }}{5}\]