В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 3:2. Найдите площадь сечения MNB.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость \[\alpha \] содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость \[\alpha \] делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью \[\alpha \].

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

\[\begin{array}{l} {\text{В правильной треугольной призме }}ABC{A_1}{B_1}{C_1}{\text{ сторона }}AB{\text{ основания равна 6}}{\text{, а боковое}} \hfill \\ {\text{ребро }}A{A_1}{\text{ равно 3}}{\text{. На рёбрах }}AB{\text{ и }}{B_1}{C_1}{\text{ отмечены точки }}K{\text{ и }}L{\text{ соответственно}}{\text{, причём}} \hfill \\ AK = {B_1}L = 2.{\text{ Точка }}M{\text{ - середина ребра }}{A_1}{C_1}.{\text{ Плоскость }}\gamma {\text{ параллельна прямой }}AC{\text{ и}} \hfill \\ {\text{содержит точки }}K{\text{ и }}L. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что прямая }}BM{\text{ перпендикулярна плоскости }}\gamma . \hfill \\ {\text{б) Найдите объём пирамиды}}{\text{, вершина которой - точка }}M,{\text{ а основание - сечение данной}} \hfill \\ {\text{призмы плоскостью }}\gamma {\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причём \[AB = 2\sqrt 2 \], BC = 4. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB.
а) Докажите, что P - середина отрезка BQ.
б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 4.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 16, а высота пирамиды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = DN = 4 и AK = 3.
а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости SBC.

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и BC = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = \[\sqrt {21} \], SB = \[\sqrt {85} \], SD = \[\sqrt {57} \].
а) Докажите, что SA - высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.