В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость \[\alpha \] содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость \[\alpha \] делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью \[\alpha \].
\[\begin{array}{l}
{\text{а)}} \hfill \\
{\text{Пусть }}D{\text{ - проекция точки }}N{\text{ на плоскость основания}}{\text{,}} \hfill \\
{\text{а }}H{\text{ - проекция точки }}M. \hfill \\
F = DH \cap CE,{\text{ }}P = DH \cap BC,{\text{ }}Q = DH \cap AC. \hfill \\
{\text{Тогда }}BD = DO,{\text{ }}AH = HO{\text{, т}}{\text{.е}}{\text{. }}DH{\text{ - средняя линия }}\vartriangle AOB \Rightarrow \hfill \\
OF = FE. \hfill \\
O{\text{ - точка пересечения медиан }}\vartriangle ABC \Rightarrow CO = 2OE. \hfill \\
{\text{Пусть }}FE = OF = x \Rightarrow CO = 4x \Rightarrow CF = 5x \Rightarrow CF:FE = 5:1,{\text{ ч}}{\text{.т}}{\text{.д}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{б)}} \hfill \\
\vartriangle CPQ \sim \vartriangle ABC,{\text{ }}k = \frac{5}{6} \Rightarrow PQ = \frac{5}{6}AB = 10. \hfill \\
MN{\text{ - средняя линия }}\vartriangle ABS \Rightarrow MN = \frac{1}{2}AB = 6. \hfill \\
CE = \sqrt {A{C^2} - A{E^2}} = \sqrt {{{12}^2} - {6^2}} = 6\sqrt 3 \hfill \\
AO = CO = \frac{2}{3}CE = 4\sqrt 3 \hfill \\
SO = \sqrt {A{S^2} - A{O^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2}} = 11. \hfill \\
MH = \frac{1}{2}SO = \frac{{11}}{2} \hfill \\
{S_{MNPQ}} = \frac{{MN + PQ}}{2} \cdot MH = \frac{{6 + 10}}{2} \cdot \frac{{11}}{2} = 44. \hfill \\
\end{array}\]
44
