Дан куб \[ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\].
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины его рёбер \[AB\], \[{B_1}{C_1}\], \[AD\].
б) Найдите угол между плоскостью \[{A_1}BD\] и плоскостью, проходящей через середины рёбер \[AB\], \[{B_1}{C_1}\], \[AD\].

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 3:2. Найдите площадь сечения MNB.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N - середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость \[\alpha \] содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость \[\alpha \] делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью \[\alpha \].

В правильной четырёхугольной призме \[ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\] сторона основания равна 28, а боковое ребро \[A{A_1} = 3\]. Точка Q принадлежит ребру \[{C_1}{D_1}\] и делит его в отношении 3:4 считая от вершины \[{C_1}\]. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и Q.

\[\begin{array}{l} {\text{В прямоугольном параллелепипеде }}ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{\text{ известны длины рёбер:}} \hfill \\ AB = 2\sqrt 2 ,AD = 6,A{A_1} = 10.{\text{ На рёбрах }}A{A_1}{\text{ и }}B{B_1}{\text{ отмечены точки }}E{\text{ и }}F \hfill \\ {\text{соответственно}}{\text{, причём }}{A_1}E:EA = 3:2{\text{ и }}{B_1}F:FB = 3:7.{\text{ Точка }}T{\text{ - середина}} \hfill \\ {\text{ребра }}{B_1}{C_1}. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что плоскость }}EFT{\text{ проходит через точку }}{D_1}. \hfill \\ {\text{б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью }}EFT. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{В правильной четырёхугольной призме }}ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{\text{ на ребре }}A{A_1}{\text{ отмечена}} \hfill \\ {\text{точка }}K{\text{, причём }}AK:K{A_1} = 1:3.{\text{ Через точки }}K{\text{ и }}B{\text{ проведена плоскость }}\alpha {\text{,}} \hfill \\ {\text{параллельная прямой }}AC{\text{ и пересекающая ребро }}D{D_1}{\text{ в точке }}M. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что точка }}M{\text{ - середина ребра }}D{D_1}. \hfill \\ {\text{б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью }}\alpha {\text{, если }}AB = 5,{\text{ }}A{A_1} = 4. \hfill \\ \end{array}\]