В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 10.
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM:MA = DN:NC = 3:2. Найдите площадь сечения MNB.

На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

У пирамиды 8 вершин. Сколько у нее граней? рёбер?

Дан тетраэдр, длины всех рёбер которого равны 1. Соедините вершины тетраэдра системой дорог наименьшей суммарной длины. Найдите суммарную длину системы дорог.

\[\begin{array}{l} {\text{Каждая вершина тетраэдра }}ABCD{\text{ (не обязательно правильного) соединена}} \hfill \\ {\text{отрезком с точкой пересечения медиан противолежащей ей грани (всего}} \hfill \\ {\text{получается четыре отрезка); далее}}{\text{, каждая середина ребра соединена отрезком}} \hfill \\ {\text{с серединой противоположного ребра (три отрезка)}}{\text{. Имеют ли эти семь}} \hfill \\ {\text{отрезков общую точку?}} \hfill \\ \end{array}\]