Район имеет средства на асфальтирование 11 км шоссейных дорог между четырьмя его селами, расположенных в вершинах квадрата со стороной 4 км. Определите, хватит ли средств району на прокладку системы дорог так, чтобы из каждого села можно было проехать в любое село асфальтированной дорогой.

Район имеет средства на асфальтирование 8 км шоссейных дорог между шестью его селами, расположенных в вершинах и центре правильного пятиугольника со стороной 2 км. Определите, хватит ли средств району на прокладку системы дорог так, чтобы из каждого села можно было проехать в любое село асфальтированной дорогой.

Район имеет средства на асфальтирование 26 км шоссейных дорог между семью его селами, расположенных в вершинах и центре правильного шестиугольника со стороной 5 км. Определите, хватит ли средств району на прокладку системы дорог так, чтобы из каждого села можно было проехать в любое село асфальтированной дорогой.

Имеется пять домов A, B, C, D, E, которые расположены так, как показано на рисунке. ABCD - квадрат со стороной 100 м, DCE - правильный треугольник. MNKP - квадратный пруд со стороной 50 м. Центры квадратов ABCD и MNKP совпадают, AK=BK. Возможно ли соединить эти дома системой дорог так, чтобы суммарная длина всех дорог не превышала 365 м и от каждого дома можно было дойти по дороге до любого другого? (Мост через пруд строить нельзя.)

Дан треугольник ABC со сторонами 5,6,7. Пусть Т - точка Торричелли данного треугольника. Найдите AT, BT, CT.

Соединить вершины единичного куба системой дорог наименьшей суммарной длины (дороги могут проходить внутри куба).

Дан тетраэдр, длины всех рёбер которого равны 1. Соедините вершины тетраэдра системой дорог наименьшей суммарной длины. Найдите суммарную длину системы дорог.

Построить минимальное дерево Штейнера для вершин правильного пятиугольника со стороной 1. Найти длину этого дерева.

В единичном кубе выбраны вершины и центры всех граней. Соединить эти точки сетью дорог, идущих по поверхности куба, так, чтобы суммарная длина дорог была меньше, чем 8,44.